Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

σ A λ µ
∀(A ∈ A) : λ(A) = λ
kµ
(A) + λ
⊥µ
(A),
λ
kµ
µ λ
⊥µ
µ
λ
µ ω(x) ∈ L
µ
(X)
∀(A ∈ A) : λ(A) =
Z
I(A | x)ω(x) µ(dx).
λ
µ
σ A
X µ
µ : A 7→ R
1
µ(∅) = 0
{A
j
}
∀((j 6= k) ⇒ (A
j
\
A
k
= ∅)) : µ(
[
1≤j<∞
A
j
) =
X
1≤l<∞
µ(A
j
) , .
∀(A ∈ A) : |µ(A)| < ∞.
Òåîðåìà 1.2.7. Åñëè íà σ-àëãåáðå A çàäàíû äâå ìåðû λ è µ, òî ñïðà-
âåäëèâî ðàçëîæåíèå

                      ∀(A ∈ A) : λ(A) = λkµ (A) + λ⊥µ (A),                   (1.162)
ãäå ìåðà    λkµ   àáñîëþòíî íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî ìåðû             µ,   à ìåðà   λ⊥µ
ñèíãóëÿðíà îòíîñèòåëüíî ìåðû        µ.
   Ïðåäñòàâëåíèå ìåðû â âèäå (1.162) íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì Ëåáåãà
(Ëåáåã îòêðûë ýòó ôîðìóëó).
   Èç ëåììû 1.2.12 è ðàçëîæåíèÿ Ëåáåãà ñëåäóåò òåîðåìà Ðàäîíà-Íèêîäèìà.
Òåîðåìà 1.2.8. Åñëè ìåðà λ àáñîëþòíî íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî ìå-
ðû   µ,   òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ         ω(x) ∈ Lµ (X),   ÷òî
                                         Z
                    ∀(A ∈ A) : λ(A) =        I(A | x)ω(x) µ(dx).             (1.163)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ìåðà λ àáñîëþòíî íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî
ìåðû µ, òî âòîðîå ñëàãàåìîå â (1.162) ðàâíî íóëþ, à ïåðâîå ñëàãàåìîå
äàåòñÿ ôîðìóëîé (1.161), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.

1.2.8       Ñ÷åòíî-àääèòèâíûå ôóíêöèè ìíîæåñòâ è òåî-

            ðåìà Õàíà.

Îïðåäåëåíèå 1.2.18. Îïðåäåëåííàÿ íà σ-àëãåáðå A ïîäìíîæåñòâ ìíî-
æåñòâà X ôóíêöèÿ µ
                                  µ : A 7→ R1
íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíî-àääèòèâíîé, åñëè
                                   µ(∅) = 0
è åñëè äëÿ ëþáîãî ñ÷åòíîãî ñåìåéñòâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ {Aj }
âûïîëíåíî ðàâåíñòâî
                         \               [        X
        ∀((j 6= k) ⇒ (Aj   Ak = ∅)) : µ(   Aj ) =    µ(Aj ) , .
                                              1≤j<∞        1≤l<∞

    îòëè÷èè îò ìåðû, ñ÷åòíî-àääèòèâíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâ ìîæåò
ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò è òàêèå ñ÷åòíî-
àääèòèâíûå ôóíêöèè ìíîæåñòâ, êîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü áåñêîíå÷íûå
çíà÷åíèÿ. Ìû íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òàêèå ôóíêöèè è áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî
                      ∀(A ∈ A) : |µ(A)| < ∞.
Èçó÷åíèå ñ÷åòíî-àääèòèâíûõ ôóíêöèé ìíîæåñòâ ñâîäèòñÿ ê èçó÷åíèþ
ìåð, è ýòî óòâåðæäåíèå åñòü ñîäåðæàíèå ñëåäóþùåé òåîðåìû Õàíà.

                                        76

Страницы