Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

X
0,λ
= {x | f
0
(x) = 0},
X
0,µ
= {x | f
0
(x) = 1},
X
λ,µ
= {x | 0 < f
0
(x) < 1}.
∀(A ⊂ X
0,λ
) : λ(A) = 0 ; ∀(A ⊂ X
0,µ
) : µ(A) = 0.
f(x) = f
n
(x) = I(A | x) min(n , (1 − f
0
(x))
−1
) , A ⊂ X
λ,µ
.
Z
I(A | x)(1 − f
0
(x)) min(n , (1 − f
0
(x))
−1
) λ(dx) =
Z
I(A | x) min(n , (1 − f
0
(x))
−1
)f
0
(x) µ(dx).
∀A ⊂ X
λ,µ
mod(ν) :
I(A | x)(1 − f
0
(x)) min(n , (1 − f
0
(x))
−1
) % I(A | x),
∀(A ⊂ X
λ,µ
) : ω(x) := I(A | x)(1 −f
0
(x))
−1
f
0
(x) ∈ L
µ
(X)
∀(A ⊂ X
λ,µ
) : λ(A) =
Z
I(A | x)ω(x) µ(dx).
λ µ
µ
σ A λ µ
λ
⊥µ
: A 7→ λ
⊥µ
(A) = λ(A
\
X
0,µ
),
λ
kµ
: A 7→ λ
kµ
(A) =
Z
I(A | x)I(X
λ,µ
| x)ω(x) µ(dx).
λ
⊥µ
µ λ
kµ
µ.
Îïðåäåëèì ìíîæåñòâà

                       X0,λ = {x | f0 (x) = 0},                           (1.155)
                       X0,µ = {x | f0 (x) = 1},                           (1.156)
                       Xλ,µ = {x | 0 < f0 (x) < 1}.                       (1.157)

Î÷åâèäíû ðàâåíñòâà

         ∀(A ⊂ X0,λ ) : λ(A) = 0 ; ∀(A ⊂ X0,µ ) : µ(A) = 0.               (1.158)

Ïîëîæèì â (1.154)

        f (x) = fn (x) = I(A | x) min(n , (1 − f0 (x))−1 ) , A ⊂ Xλ,µ .

Ïîëó÷èì:
           Z
               I(A | x)(1 − f0 (x)) min(n , (1 − f0 (x))−1 ) λ(dx) =
           Z
               I(A | x) min(n , (1 − f0 (x))−1 )f0 (x) µ(dx).             (1.159)

Íî

           ∀A ⊂ Xλ,µ ï.â. mod(ν) :
           I(A | x)(1 − f0 (x)) min(n , (1 − f0 (x))−1 ) % I(A | x),

ïîýòîìó èç (1.159) ñëåäóåò, ÷òî

        ∀(A ⊂ Xλ,µ ) : ω(x) := I(A | x)(1 − f0 (x))−1 f0 (x) ∈ Lµ (X)

è                                       Z
                ∀(A ⊂ Xλ,µ ) : λ(A) =       I(A | x)ω(x) µ(dx).

 ñèëó ñèììåòðèè ìåæäó ìåðàìè λ è µ àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñïðà-
âåäëèâî è äëÿ ìåðû µ. Ëåììà äîêàçàíà.
   Ïóñòü íà σ -àëãåáðå A çàäàíû äâå ìåðû λ è µ. Âîñïîëüçóåìñÿ îáîçíà-
÷åíèÿìè ïðåäûäóùåé ëåììû è îïðåäåëèì ìåðû
                               \
       λ⊥µ : A 7→ λ⊥µ (A) = λ(A X0,µ ),                        (1.160)
                            Z
        λkµ : A 7→ λkµ (A) = I(A | x)I(Xλ,µ | x)ω(x) µ(dx).    (1.161)

ßñíî, ÷òî ìåðà λ⊥µ ñèíãóëÿðíà îòíîcèòåëüíî ìåðû µ, à ìåðà λkµ àáñî-
ëþòíî íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî ìåðû µ. Òàêèì îáðàçîì, èç ëåììû 1.2.12
ñëåäóåò

                                       75

Страницы