Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A [0 , 1]
m
l
(α , β) = β − α.
∀(A ∈ A) : m (A) = m (A
\
P ),
P m
σ A λ µ
λ
µ µ(A) = 0 λ(A) = 0.
ω(x) ∈ L
µ
(X) , ω(x) ≥ 0
∀(A ∈ A) : λ(A) =
Z
I(A | x)ω(x) µ(dx)
µ
σ A
X λ µ X
σ A
X = X
0,λ
[
X
0,µ
[
X
λ,µ
,
λ(X
0,λ
) = µ(X
0,µ
) = 0,
X
λ,µ
σ
A ω(x)
∀(A ⊂ X
λ,µ
, A ∈ A) : λ(A) =
Z
I(A | x)ω(x) µ(dx).
∀(m ∈ A) : ν(m) = λ(m) + µ(m).
L
2
ν
(X)
< f , g >=
Z
f(x)g(x) ν(dx).
Íà ýòîé æå àëãåáðå A áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ îòðåçêà [0 , 1] ðàññìîòðèì
ìåðó Ëåáåãà
                         ml (α , β) = β − α.
ßñíî, ÷òî                                              \
                      ∀(A ∈ A) : mCt (A) = mCt (A          P ),
è òàê êàê ìåðà Ëåáåãà ìíîæåñòâà P ðàâíà íóëþ, òî ìåðû mCt è ìåðà
Ëåáåãà ñèíãóëÿðíû.
   Ïóñòü íà íåêîòîðîé σ -àëãåáðå A çàäàíû äâå ìåðû λ è µ.
Îïðåäåëåíèå 1.2.17. Ìåðà λ íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé îò-
íîñèòåëüíî ìåðû µ, åñëè èç òîãî, ÷òî µ(A) = 0 ñëåäóåò, ÷òî λ(A) = 0.
   Åñëè ω(x) ∈ Lµ (X) , ω(x) ≥ 0, òî ôîðìóëà
                                   Z
                ∀(A ∈ A) : λ(A) = I(A | x)ω(x) µ(dx)                       (1.150)

çàäàåò ìåðó, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé îòíîñèòåëüíî ìå-
ðû µ. Íèæå ìû óâèäèì, ÷òî ëþáàÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ìåðà èìååò
òàêîé âèä.
Ëåììà 1.2.12. Ïóñòü íà íåêîòîðîé σ-àëãåáðå A ïîäìíîæñòâ ìíîæå-
ñòâà   X   çàäàíû äâå ìåðû  λ è µ. Òîãäà ïðîñòðàíñòâî X           åñòü îáúåäèíåíèå
òðåõ ïðèíàäëåæàùèõ       σ -àëãåáðå A íåïåðåñåêàþùèõñÿ            ìíîæåñòâ
                                     [      [
                          X = X0,λ X0,µ Xλ,µ ,

ïðè÷åì
                             λ(X0,λ ) = µ(X0,µ ) = 0,                      (1.151)
à íà ïðîñòðàíñòâå   Xλ,µ îïðåäåëåíà      òàêàÿ èçìåðèìàÿ îòíîñèòåëüíî           σ-
àëãåáðû    A ôóíêöèÿ ω(x), ÷òî
                                            Z
           ∀(A ⊂ Xλ,µ , A ∈ A) : λ(A) =         I(A | x)ω(x) µ(dx).        (1.152)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì

                      ∀(m ∈ A) : ν(m) = λ(m) + µ(m).

Ðàññìîòðèì äåéñòâèòåëüíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî L2ν (X) ñî ñêàëÿð-
íûì ïðîèçâåäåíèåì
                              Z
                    < f , g >= f (x)g(x) ν(dx).

                                       73

Страницы