Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

K
1
3 x 7→
Z
f(x , y)µ(·, dy),
K
2
3 y 7→
Z
f(x , y)µ(dx , ·)
L(K
1
) , L(K
2
)
Z
f(x , y)µ(dxdy) =
Z
Z
f(x , y) µ(·, dy)
µ(dx , ·),
K
K
2
K
1
f(x , y) ∈
L
+
(K) C(K)
kfk = sup{|f(x , y)| | (x , y) ∈ K}.
f(x , y) =
X
1≤j≤n
φ
j
(x)ψ
j
(y)
C(K)
I
0
, I
0,1
, I
0,2
f ∈ C(K)
f ∈ L
+
(K) f
n
∈ C(K) f
n
(x , y) %
f(x , y) , n → ∞.
∀n:
Z
f
n
(x , y)µ(dxdy) =
Z
Z
f
n
(x , y)µ(·, dy
µ(dx , ·).
φ
n
(x) =
Z
f
n
(x , y) µ(·, dy)
µ(dx , ·)
φ(x) = lim
n→∞
Z
f
n
(x , y) µ(·, dy),
   3. Ôóíêöèè
                                         Z
                           K1 3 x 7→         f (x , y)µ(· , dy),
                                         Z
                           K2 3 y 7→         f (x , y)µ(dx , ·)

ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâàì            L(K1 ) , L(K2 )     ñîîòâåòñòâåííî.
   4. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
        Z                        Z Z                       
            f (x , y)µ(dxdy) =           f (x , y) µ(· , dy) µ(dx , ·),    (1.143)

ãäå â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî êîìïàêòó               K, à
â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà âíóòðåííèé èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî êîìïàêòó
K2 ,   à âíåøíèé ïî êîìïàêòó      K1 .
    Äîêàçàòåëüñòâî. ßñíî, ÷òî òåîðåìó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü äëÿ f (x , y) ∈
L+ (K). Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðîñòðàíñòâî C(K) êàê
áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé
                       kf k = sup{|f (x , y)| | (x , y) ∈ K}.
 ýòîì ïðîñòðàíñòâå àëãåáðà ôóíêöèé âèäà
                                  X
                      f (x , y) =   φj (x)ψj (y)                           (1.144)
                                         1≤j≤n

ïëîòíà ïî íîðìå è åå çàìûêàíèå ñîâïàäàåò ñ C(K). Íà êàæäîé ôóíê-
öèè âèäà (1.144) ôîðìóëà (1.143) âåðíà â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ (1.142).
Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèîíàëîâ I0 , I0,1 , I0,2 ôîð-
ìóëà (1.143) âåðíà äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f ∈ C(K). Ïóñòü
òåïåðü f ∈ L+ (K) è fn ∈ C(K) òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ÷òî fn (x , y) %
f (x , y) , n → ∞. Òîãäà
           Z                      Z Z                   
     ∀n :     fn (x , y)µ(dxdy) =      fn (x , y)µ(· , dy µ(dx , ·). (1.145)

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
                                     Z
                          φn (x) =       fn (x , y) µ(· , dy)

ñîñòîèò èç íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, îíà ìîíîòîííî íå óáûâàåò è èíòåãðà-
ëû îò íåå îãðàíè÷åíû â ñîâîêóïíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó òåîðåìû
Áåïïî Ëåâè ïî÷òè âñþäó ïî ìåðå µ(dx , ·) ñóùåñòâóåò ïðåäåë
             Z
  φ(x) = lim   fn (x , y) µ(· , dy),                         (1.146)
            n→∞



                                          71

Страницы