Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

r =
X
1≤n<∞
2
−n−1
a(n) , a(n) = 0 , 1,
(0 , 1]
A = [0 , 1] \
[
1≤n<∞
(x
n
− 4
−n
, x
n
+ 4
−n
),
{x
n
} [0 , 1].
A 1 − ,
K
1
, K
2
K = K
1
×K
2
K
1
, K
2
K =
K
1
×K
2
(x , y) ≡ x×y , x ∈ K
1
, y ∈ K
2
C(K) K
K C(K)
I
0
: C(K) 7→ R
1
L
0
(K) = C(K)
∀(f ∈ C(K)) : |I
0
(f)| ≤ I
0
(1) sup{|f(x , y)| | (x , y) ∈ K}.
I
0
∀(f(x , y) = φ(x)ψ(y)) : I
0
(f) = I
0,1
(φ)I
0,2
(ψ),
I
0,1
, I
0,2
C(K
1
) , C(K
2
)
K
1
= K
2
= [0 , 1].
I
0
: f(x , y) 7→
Z
1
0
Z
1
0
f(x , y) dxdy
I
0
: f(x , y) 7→ f(x
0
, y
0
)
íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ÷èñëàìè âèäà
                     X
                 r=       2−n−1 a(n) , ãäå a(n) = 0 , 1,
                        1≤n<∞

à ýòî è åñòü âñå ÷èñëà èç ïîëóèíòåðâàëà (0 , 1].
   Òàêèì îáðàçîì çàìêíóòîå ìíîæåñòâî Êàíòîðà (èëè, êàê åãî åùå íàçû-
âàþò, ñîâåðøåííîå ìíîæåñòâî Êàíòîðà) åñòü ïðèìåð ìíîæåñòâà, êîòîðîå
èìååò ìåðó íîëü è ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.
    íåêîòîðîì ñìûñëå ïðîòèâîïîëîæíûé ïðèìåð ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè
ðàññìîòðåòü ìíîæåñòâî
                               [
                 A = [0 , 1] \   (xn − 4−n  , xn + 4−n ),
                                1≤n<∞

ãäå {xn } -ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âñåõ ðàöèîíàëüíûõ òî÷åê îòðåçêà [0 , 1].
Ìíîæåñòâî A çàìêíóòî è èìååò ìåðó, áîëüøå ÷åì 1 − , íî íå ñîäåðæèò
íè îäíîãî îòêðûòîãî èíòåðâàëà.

1.2.6    Òåîðåìà Ôóáèíè.

Ïóñòü K1 , K2 -êîìïàêòíûå òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, K = K1 × K2
-äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ K1 , K2 . Òî÷êè ïðîñòðàíñòâà K =
K1 ×K2 ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëàìè (x , y) ≡ x×y , x ∈ K1 , y ∈ K2 .
Ïóñòü C(K) -ìíîæåñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà ïðîñòðàíñòâå K .
Âîçüìåì ïðîñòðàíñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ íà êîìïàêòå K ôóíêöèé C(K)
â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé è ïóñòü

                                I0 : C(K) 7→ R1
-ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë íà L0 (K) = C(K). Íàïîìíèì, ÷òî ýëåìåíòàð-
íûé èíòåãðàë íåîáõîäèìî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

     ∀(f ∈ C(K)) : |I0 (f )| ≤ I0 (1) sup{|f (x , y)| | (x , y) ∈ K}.   (1.141)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë I0 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:

               ∀(f (x , y) = φ(x)ψ(y)) : I0 (f ) = I0,1 (φ)I0,2 (ψ),    (1.142)

ãäå I0,1 , I0,2 -ëèíåéíûå ôóíêöèîíàëû íà C(K1 ) , C(K2 ) ñîîòâåòñòâåííî.
   Ïðèâåäåì ïðèìåð. Ïóñòü K1 = K2 = [0 , 1]. Òîãäà ôóíêöèîíàëû
                                         Z 1Z 1
                       I0 : f (x , y) 7→        f (x , y) dxdy
                                           0   0
                       I0 : f (x , y) 7→ f (x0 , y0 )

                                        69

Страницы