Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

[0 , 1]
(t) t < 0 , t > 1
(t): (t) = 0 , t < 0 ; (t) = 1 , t > 1.
[0 , 1] (1/3 , 2/3)
(t) = (0 + 1)/2 = 1/2 , 1/3 < t < 2/3.
[0 , 1/3] , [2/3 , 1]
(1/9 , 2/9) , (7/9 , 8/9)
(t) = (0 + 1/2)/2 = 1/4 , 1/9 < t < 2/9,
(t) = (1/2 + 1)/2 = 3/4 , 7/9 < t < 8/9.
n n + 1
0
(t)
1
0
G = (1/3 , 2/3)
[
(1/9 , 2/9)
[
(7/9 , 8/9) . . .
G
P = [0 , 1] \G
2/3
G G
(t
1
) ≤ (t
2
) , t
1
≤ t
2
, t
1
, t
2
∈ G,
1.2.5    Ôóíêöèÿ Êàíòîðà.

Ïðèâåäåì âî ìíîãèõ îòíîøåíèÿõ ïðèíöèïèàëüíî âàæíûé êëàññè÷åñêèé
ïðèìåð: ôóíêöèþ Êàíòîðà. Ýòà ôóíêöèÿ ñòðîèòñÿ íà îòðåçêå [0 , 1]. Ïî-
ñòðîåíèå áóäåì âåñòè èíäóêòèâíî. Íà íóëåâîì øàãå èíäóêöèè ìû îïðå-
äåëèì ôóíêöèþ Êàíòîðà Ct(t) íà èíòåðâàëàõ t < 0 , t > 1:

                Ct(t) : Ct(t) = 0 , t < 0 ; Ct(t) = 1 , t > 1.

Äàëåå îòìåòèì íà îòðåçêå [0 , 1] èíòåðâàë (1/3 , 2/3) è íà ýòîì èíòåðâàëå
ïîëîæèì
               Ct(t) = (0 + 1)/2 = 1/2 , 1/3 < t < 2/3.
Ó íàñ îñòàëèñü äâà îòðåçêà: [0 , 1/3] , [2/3 , 1]. Íà êàæäîì îòðåçêå ìû
îòìåòèì ñðåäíþþ òðåòü: èíòåðâàëû (1/9 , 2/9) , (7/9 , 8/9) è íà îòìå÷åí-
íûõ èíòåðâàëàõ ïîëîæèì

                Ct(t) = (0 + 1/2)/2 = 1/4 , 1/9 < t < 2/9,
                Ct(t) = (1/2 + 1)/2 = 3/4 , 7/9 < t < 8/9.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ñäåëàëè n øàãîâ ïîñòðîåíèÿ. Íà øàãå n + 1 ìû
ïîñòóïàåì òàê. Äâèãàÿñü îò òî÷êè 0 âïðàâî ìû íà êàæäîì âñòðåòèâøåì-
ñÿ îòðåçêå áóäåì îòìå÷àòü ëåæàùèé ïîñåðåäèíå îòðåçêà èíòåðâàë, äëèíà
êîòîðîãî ðàâíà îäíîé òðåòè äëèííû îòåçêà, è íà îòìå÷åííîì èíòåðâàëå
îïðåäåëèì ôóíêöèþ Ct(t) êàê ïîëóñóììó òåõ çíà÷åíèé, êîòîðûå îíà èìå-
åò íà áëèæàéøèõ ñëåâà è ñïðàâà îòìå÷åííûõ ðàíåå èíòåðâàëàõ. Òàê ìû
áóäåì äåëàòü äî òåõ ïîð, ïîêà íå äîéäåì äî òî÷êè 1. Çàòåì ìû âåðíåìñÿ
ê òî÷êå 0 è ïîâòîðèì ïîñòðîåíèå. Îáúåäèíåíèå îòìå÷åííûõ â ðåçóëüòàòå
òàêîãî ïðîöåññà èíòåðâàëîâ íàçûâàåòñÿ îòðûòûì ìíîæåñòâîì Êàíòîðà
                              [           [
               G = (1/3 , 2/3) (1/9 , 2/9) (7/9 , 8/9) . . .

Äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà G

                               P = [0 , 1] \ G
íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì Êàíòîðà (èëè åùå ñîâåðøåííûì ìíî-
æåñòâîì Êàíòîðà). Òàê êàê íà êàæäîì øàãå ïîñòðîåíèÿ ñóììàðíàÿ äëè-
íà íåîòìå÷åííûõ îòðåçêîâ óìåíüøàåòñÿ â 2/3 ðàçà, ìåðà Ëåáåãà çàìêíó-
òîãî ìíîæåñòâà Êàíòîðà ðàâíà íóëþ, ïîýòîìó ìåðà Ëåáåãà îòêðûòîãî
ìíîæåñòâà Êàíòîðà ðàâíà åäèíèöå. Ïî ïîñòðîåíèþ ôóíêöèÿ Êàíòîðà
ïîñòîÿííà íà êàæäîé ñâÿçàííîé êîìïîíåíòå îòêðûòîãî ìíîæåñòâà Êàí-
òîðà G è ìîíîòîííî íå óáûâàåò íà G:

                  Ct(t1 ) ≤ Ct(t2 ) , t1 ≤ t2 , t1 , t2 ∈ G,

                                     67

Страницы