Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a > 0
µ({x | |f(x)| > a}) ≤
1
a
Z
|f(x)|µ(dx).
Z
(|f(x)|/a) µ(dx) ≥
Z
(|f(x)|/a) I({x | |f(x)| > a} | x)µ(dx) ≥
Z
I({x | |f(x)| > a} | x) µ(dx) = µ({x | |f(x)| > a}).
{f
n
(x)}
L(X) f(x)
Z
|f
n
(x) − f(x)|µ(dx) → 0 , n → ∞.
∀a > 0 : µ({x | |f
n
(x) − f(x)| > a}) ≤
1
a
Z
|f
n
(x) − f(x)|µ(dx),
L(X)
{f
n
(x)}
L(X)
{f
n
(x)}
{f
n
(x)}
{f
n
(x)}
φ(t)
[0 , ∞) f(x)
Z
φ(|f(x)|) µ(dx) =
Z
∞
0
µ({x | |f(x)| > t})
dφ(t)
dt
dt.
µ(dx)
φ(|f(x)|) =
Z
∞
0
I({x | |f(x)| > t} | t)
dφ(t)
dt
dt.
Ëåììà 1.2.11. Ïðè a > 0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
                                    Z
                                            1
                   µ({x | |f (x)| > a}) ≤       |f (x)| µ(dx).                (1.138)
                                            a
   Íåðàâåíñòâî (1.138) íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì ×åáûøåâà .
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî íåðàâåíñòâà çàìåòèì, ÷òî
     Z                      Z
       (|f (x)|/a) µ(dx) ≥ (|f (x)|/a) I({x | |f (x)| > a} | x)µ(dx) ≥
     Z
       I({x | |f (x)| > a} | x) µ(dx) = µ({x | |f (x)| > a}).

Íàïîìíèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ñõîäèòñÿ â ìåòðèêå ïðîñòðàí-
ñòâà L(X) ê ôóíêöèè f (x), åñëè
                 Z
                   |fn (x) − f (x)| µ(dx) → 0 , n → ∞.

Èç íåðàâåíñòâà (1.138) ñëåäóåò, ÷òî
                                                Z
                                              1
     ∀a > 0 : µ({x | |fn (x) − f (x)| > a}) ≤     |fn (x) − f (x)| µ(dx),
                                              a
ïîýòîìó èç ñõîäèìîñòè â L(X) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ïî ìåðå.
   Ñîáèðàÿ äîêàçàííûå ëåììû, ìû ïîëó÷èì
Òåîðåìà 1.2.5. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
   1. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ ôóíêöèé                  {fn (x)}   ñõîäèòñÿ
ïî÷òè âñþäó, òî îíà ñõîäèòñÿ ïî ìåðå.
   2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ ôóíêöèé ñõîäèòñÿ â ìåò-
ðèêå ïðîñòðàíñòâà     L(X),   òî îíà ñõîäèòñÿ ïî ìåðå.
   3. Äëÿ ñõîäèìîñòè ïî ìåðå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè            {fn (x)}    íåîáõîäèìî
è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü          {fn (x)} áûëà ôóíäàìåíòàëü-
íî ïî ìåðå.
   4. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïî ìåðå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü             {fn (x)} ñîäåðæèò
ñõîäÿùóþñÿ ïî÷òè âñþäó ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
    çàêëþ÷åíèè ïðèâåäåì îäíó ïîëåçíóþ ôîðìóëó. Ïóñòü φ(t) -íåïðåðûâíî
äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà èíåðâàëå [0 , ∞) íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ, f (x) -
èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
        Z                    Z ∞
                                                        dφ(t)
          φ(|f (x)|) µ(dx) =      µ({x | |f (x)| > t})        dt.  (1.139)
                              0                           dt
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ðàâåíñòâà äîñòàòî÷íî ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî ìå-
ðå µ(dx) î÷åâèäíîå ðàâåíñòâî
                           Z ∞
                                                         dφ(t)
              φ(|f (x)|) =      I({x | |f (x)| > t} | t)       dt.
                            0                              dt

                                      66

Страницы