Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{f
n
(x)}
f(x) {f
n
(x)}
f(x)
A
a
=
\
m
[
n≥m
{x | |f
n
(x) − f(x)| > a}.
x ∈ A
a
, x f
n
(x)
f(x) µ(A
a
) = 0
µ(
[
n≥m
{x | |f
n
(x) − f(x)| > a}) → 0 , m → ∞.
µ({x | |f
n
(x) − f(x)| > a}) ≤ µ(
[
n≥m
{x | |f
n
(x) − f(x)| > a}) → 0 , m → ∞.
{f
n
(x)}
{f
n
(x)}
k > 0
n(k)
A
k
: (x ∈ A
k
) ⇐⇒ (sup{|f
n(k)
(x) − f
m
(x)| | m > n(k)} ≥ 2
−k
).
µ(A
k
) < 2
−k
.
A =
\
j≥1
[
k≥j
A
k
.
∀j : µ(A) ≤ µ(
[
k≥j
A
k
) ≤
X
k≥j
µ(A
k
) < 2
1−j
→ 0 , j → ∞,
µ(A) = 0
Ëåììà 1.2.8. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ ôóíêöèé {f (x)}                n
ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó ê ôóíêöèè             f (x),   òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü   {fn (x)}
ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè     f (x)   ïî ìåðå.

   Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
                      \ [
                 Aa =      {x | |fn (x) − f (x)| > a}.                      (1.136)
                           m n≥m


Åñëè x ∈ Aa , òî â ýòîé òî÷êå x ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) íå ñõîäèòñÿ ê
f (x), ïîýòîìó µ(Aa ) = 0 è
                  [
               µ(    {x | |fn (x) − f (x)| > a}) → 0 , m → ∞.
                 n≥m

Ñëåäîâàòåëüíî,
                                     [
µ({x | |fn (x) − f (x)| > a}) ≤ µ(         {x | |fn (x) − f (x)| > a}) → 0 , m → ∞.
                                     n≥m

Ëåììà 1.2.9. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f (x)} ôóíäàìåíòàëüíà ïî
                                                           n
ìåðå, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü        {fn (x)} ñîäåðæèò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü,
êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèÿ 1.132 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî k > 0 ñó-
ùåñòâóåò òàêîé íîìåð n(k), ÷òî ìåðà ìíîæåñòâà

      Ak : (x ∈ Ak ) ⇐⇒ (sup{|fn(k) (x) − fm (x)| | m > n(k)} ≥ 2−k ).

óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó

                                  µ(Ak ) < 2−k .

Ïóñòü                                   \[
                                 A=                 Ak .                    (1.137)
                                        j≥1 k≥j

Î÷åâèäíî, ÷òî
                           [            X
          ∀j : µ(A) ≤ µ(       Ak ) ≤         µ(Ak ) < 21−j → 0 , j → ∞,
                         k≥j            k≥j

ïîýòîìó

          µ(A) = 0

                                           64

Страницы