Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

µ(C(A)) = 1.
C(A) =
[
j≥1
\
k≥j
C(A
k
).
x ∈ C(A), j ≥ 1, x ∈
T
k≥j
C(A
k
),
∀(k ≥ j , p > 0): |f
n(k)
(x) − f
n(k+p)
(x)|
< sup{|f
n(k)
(x) − f
m
(x)| | m ≥ n(k)} < 2
−k
,
f
n(k)
(x)
σ
∅ , X
{f
n
(x)}
{f
n(j)
}
f(x) f(x)
a > 0
µ({x | |f(x) − f
m
(x)| > 2a}) <
µ({x | |f(x) − f
n(j)
(x)| > a}) + µ({x | |f
n(j)
(x) − f
m
(x)| > a}),
j → ∞
m
{f
n
(x)}
è

         µ(C(A)) = 1.

Íî
                  [\
         C(A) =             C(Ak ).
                  j≥1 k≥j

Åñëè x ∈ C(A), òî ñóùåñòâóåò òàêîå j ≥ 1, ÷òî x ∈               C(Ak ), ïîýòîìó
                                                          T
                                                          k≥j


               ∀(k ≥ j , p > 0) : |fn(k) (x) − fn(k+p) (x)|
                < sup{|fn(k) (x) − fm (x)| | m ≥ n(k)} < 2−k ,

à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn(k) (x) ôóíäàìåíòàëüíà. Ëåììà
äîêàçàíà.
   Çàìå÷àíèå. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî äîêàçàòåëüñòâà äâóõ ïîñëåäíèõ ëåìì
îäíîòèïíû è îñíîâàíû íà ðàññìîòðåíèè ìíîæåñòâ (1.137) è (1.136). Â
âåðîÿòíîñòíîé èíòåðïðåòàöèè ýòè ìíîæåñòâà ïðåäñòàâëÿþò íåêîòîðûå
ñîáûòèÿ, êîòîðûå ïðîèñõîäÿò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Ïðè îïðåäåëåí-
íûõ óñëîâèÿõ òàêèå ñîáûòèÿ äîëæíû áûòü èçìåðèìû îòíîñèòåëüíî σ -
àëãåáðû, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ìíîæåñòâ: ∅ , X , è ïîýòîìó èõ âåðîÿòíîñòü
ìîæåò áûòü ðàâíà òîëüêî íóëþ èëè åäèíèöå (ýòî îäíà èç ôîðìóëèðîâîê
çàêîíà íóëÿ èëè åäèíèöû â òåîðèè âåðîÿòíîñòè).
   Èç äâóõ ïðåäûäóùèõ ëåìì ñëåäóåò

Ëåììà 1.2.10. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ ôóíêöèé ôóíäà-
ìåíòàëüíà ïî ìåðå, òî îíà ñõîäèòñÿ ïî ìåðå ê èçìåðèìîé ôóíêöèè.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {fn (x)} -ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïî ìåðå ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü è {fn(j) } -åå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ ïî÷òè
âñþäó ê ôóíêöèè f (x). Ñîãëàñíî ëåììå 1.2.7 ôóíêöèÿ f (x) èçìåðèìà.
Ïðè ëþáîì a > 0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

      µ({x | |f (x) − fm (x)| > 2a}) <
      µ({x | |f (x) − fn(j) (x)| > a}) + µ({x | |fn(j) (x) − fm (x)| > a}),

Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà ìîæåò áûòü ñäåëà-
íî ñêîëü óãîäíî ìàëûì ïðè j → ∞, òàê êàê èç ñõîäèìîñòè ïî÷òè âñþäó
ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ïî ìåðå. Âòîðîå ñëàãàåìîå ìîæåò áûòü ñäåëàíî ñêîëü
óãîäíî ìàëûì ïðè âûáîðå äîñòàòî÷íî áîëüøîãî m â ñèëó ôóíäàìåíòàëü-
íîñòè ïî ìåðå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)}. Ëåììà äîêàçàíà.

                                       65

Страницы