Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

σ A
0
µ
{x | lim
n→∞
f
n
(x) ≤ a} σ A
x
{f
n
(x)}
A =
\
k≥1
[
n≥1
\
p≥n
q>0
{x | |f
p
(x) − f
p+q
(x)| ≤ 1/k}.
σ A µ σ
σ
A {f
n
(x)} µ
a > 0 , > 0 n(a , ) n ≥ n(a , )
p ≥ 1
µ({x | |f
n
(x) − f
n+p
(x)| > a}) < .
σ
A {f
n
(x)} µ
f(x) a > 0 , > 0 n(a , )
n ≥ n(a , )
µ({x | |f
n
(x) − f(x)| > a}) < .
σ
|f
n
(x) − f
n+p
(x)| ≤ |f
n
(x) − f(x)| + |f(x) − f
n+p
(x)|
µ({x | |f
n
(x) − f
n+p
(x)| > 2a}) ≤
µ({x | |f
n
(x) − f(x)| > a}) + µ({x | |f(x) − f
n+p
(x)| > a}),
Ñòîÿùåå â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.131) ìíîæåñòâî èçìåðèìî îòíîñè-
òåëüíî σ -àëãåáðû A0 . Îòñþäà â ñèëó ïîëíîòû ìåðû µ ñëåäóåò èçìåðè-
ìîñòü ìíîæåñòâà {x | limn→∞ fn (x) ≤ a} îòíîñèòåëüíî σ -àëãåáðû A.
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ íàøåé ëåììû äîñòàòî÷-
íî çàìåòèòü, ÷òî ìíîæåñòâî (áûòü ìîæåò, ïóñòîå) òåõ òî÷åê x, ãäå ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ôóíäàìåíòàëüíà, åñòü ìíîæåñòâî
                    \[\
               A=           {x | |fp (x) − fp+q (x)| ≤ 1/k}.
                     k≥1 n≥1 p≥n
                             q>0


1.2.4    Ñõîäèìîñòü ïî ìåðå.

Ïóñòü íàì çàäàíà σ -àëãåáðà ìíîæåñòâ A è ìåðà µ íà ýòîé σ -àëãåáðå.

Îïðåäåëåíèå 1.2.13. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ îòíîñèòåëüíî σ-
àëãåáðû A ôóíêöèé {fn (x)} ôóíäàìåíòàëüíà ïî ìåðå µ, åñëè äëÿ ëþáûõ
a > 0 ,  > 0 ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð n(a , ), ÷òî ïðè n ≥ n(a , ) äëÿ
âñåõ p ≥ 1 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

                     µ({x | |fn (x) − fn+p (x)| > a}) < .               (1.132)


Îïðåäåëåíèå 1.2.14. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ îòíîñèòåëüíî σ-
àëãåáðû A ôóíêöèé {fn (x)} ñõîäèòñÿ ïî ìåðå µ ê èçìåðèìîé ôóíêöèè
f (x), åñëè äëÿ ëþáûõ a > 0 ,  > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî n(a , ), ÷òî
ïðè n ≥ n(a , ) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

                      µ({x | |fn (x) − f (x)| > a}) < .                 (1.133)

   Íèæå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî σ -àëãåáðà è ìåðà íà íåé ôèêñèðîâàíû.
   Èç íåðàâåíñòâà

           |fn (x) − fn+p (x)| ≤ |fn (x) − f (x)| + |f (x) − fn+p (x)|

ñëåäóåò, ÷òî

    µ({x | |fn (x) − fn+p (x)| > 2a}) ≤                                  (1.134)
    µ({x | |fn (x) − f (x)| > a}) + µ({x | |f (x) − fn+p (x)| > a}),     (1.135)

ïîýòîìó èç ñõîäèìîñòè ïî ìåðå ñëåäóåò ôóíäàìåíòàëüíîñòü ïî ìåðå. Íè-
æå ìû äîêàæåì, ÷òî èç ôóíäàìåíòàëüíîñòè ïî ìåðå ñëåäóåò ñõîäèìîñòü
ïî ìåðå. Îäíàêî ñíà÷àëà ìû äîêàæåì, ÷òî èç ñõîäèìîñòè ïî÷òè âñþäó
ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ïî ìåðå.

                                       63

Страницы