Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f(x) ∈ L(X) |f(x)| ∈ L(X)
f(x) ∈ L(X) , g(x) ∈ L(X) f(x)g(x) ∈ L(X)
µ
{f
n
(x)}
∃f(x) : mod(µ) lim
n→∞
f
n
(x) = f(x),
f(x) f(x) ∈
L(X)
{f
n
(x)}
A x {f
n
(x)}
σ A
I
f(x) , g(x)
{x | f(x) + g(x) < a} =
[
−∞<m<∞ , n≥1
({x | f(x) ≤ m/n}
\
{x | g(x) < a − m/n})
{x | |f(x)| < a} = {x | f(x) < a}
\
{x | f(x) > −a}
f
2
(x)
f(x)
f(x)g(x) =
1
2
((f(x) + g(x))
2
− f
2
(x) − g
2
(x)),
Z
x f
n
(x)
C(Z) = X \ Z σ
A
0
= {A
0
| A
0
= A
\
C(Z) , A ∈ A}
µ σ
C(Z)
{x | lim
n→∞
f
n
(x) ≤ a} =
\
q≥1
\
m>1
[
n>m
{x | f
n
(x) ≤ a + 1/q}.
   2. Åñëè  f (x) ∈ L(X), òî |f (x)| ∈ L(X).
    3. Åñëè f (x) ∈ L(X) , g(x) ∈ L(X), òî f (x)g(x) ∈ L(X).
    4. Åñëè ìåðà µ ïîëíà è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ                    ôóíêöèé
{fn (x)} ïî÷òè âñþäó èìååò ïðåäåë:

                   ∃ f (x) :   ï.â.   mod(µ) lim fn (x) = f (x),             (1.130)
                                                n→∞

òî îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì             (1.130) ôóíêöèÿ f (x) èçìåðèìà: f (x) ∈
L(X).
   5. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ ôóíêöèé                  {fn (x)}
ìíîæåñòâî    A   òåõ òî÷åê      x,    ãäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü   {fn (x)}   ôóíäàìåí-
òàëüíà (ò.å. èìååò ïðåäåë ), ïðèíàäëåæèò              σ -àëãåáðå AI .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷-
íî çàìåòèòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé f (x) , g(x) ìíîæåñòâî

         {x | f (x) + g(x) < a} =
               [                         \
                       ({x | f (x) ≤ m/n} {x | g(x) < a − m/n})
         −∞ −a}

Çàìåòèì, ÷òî îòñþäà ñëåäóåò èçìåðèìîñòü ôóíêöèè f 2 (x), åñëè ôóíêöèÿ
f (x) èçìåðèìà.
    Òàê êàê
                         1
              f (x)g(x) = ((f (x) + g(x))2 − f 2 (x) − g 2 (x)),
                         2
òî èç óòâåðæäåíèé 1 è 2 ñëåäóåò óòâåðæäåíèå 3.
   Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó ÷åòâåðòîãî óòâåðæäåíèÿ. Ïóñòü Z ìíî-
æåñòâî òåõ òî÷åê x, ãäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) íå èìååò ïðåäåëà. Íà
ìíîæåñòâå C(Z) = X \ Z ðàññìîòðèì σ -àëãåáðó
                                   \
                  A0 = {A0 | A0 = A C(Z) , A ∈ A}

è ñóæåíèå ìåðû µ íà ýòó σ -àëãåáðó. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, ïîñêîëüêó ìåðà
ïîëíà. Íà ìíîæåñòâå C(Z) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                             \ \ [
      {x | lim fn (x) ≤ a} =          {x | fn (x) ≤ a + 1/q}.  (1.131)
          n→∞
                                  q≥1 m>1 n>m


                                           62

Страницы