Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Z ⊂ X
Z
Z
µ(Z) = 0
Z
Z
I(Z | x) = 0,
Z
I(Z | x) ∈ L
+
(X),
µ(Z) = I(I(Z | ·)) = 0.
Z
I(I(Z | ·)) = 0,
Z
µ(A) =
Z
I(A | x) µ(dx),
P (x)
x ∈ X, P (x)
P (x)
X
P : X 3 x 7→ P (x) ∈ {truth , false}
P (x) = truth µ({x | P (x) =
false}) = 0.
Ëåììà 1.2.6. Ìíîæåñòâî Z ⊂ X åñòü ìíîæåñòâî ìåðû íîëü â ñìûñ-
ëå îïðåäåëåíèÿ 1.1.1 â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè ìíîæåñòâî            Z
èçìåðèìî â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.2.9 è ìåðà ìíîæåñòâà         Z   ðàâíà íóëþ:
µ(Z) = 0.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè Z åñòü ìíîæåñòâî ìåðû íîëü â ñìûñëå îïðåäå-
ëåíèÿ 1.1.1, òî ñîãëàñíî ýòîìó îïðåäåëåíèþ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíê-
öèÿ ìíîæåñòâà Z ïî÷òè âñþäó ðàâíà íóëþ:

                           ï.â. I(Z | x) = 0,                        (1.127)

ïîýòîìó ñîãëàñíî ëåììå 1.1.7 õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà Z
èíòåãðèðóåìà:
                           I(Z | x) ∈ L+ (X),
è
                        µ(Z) = I(I(Z | ·)) = 0.
Åñëè õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà Z èíòåãðèðóåìà è

                            I(I(Z | ·)) = 0,

òî ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 1.1.4 ìíîæåñòâî Z åñòü ìíîæåñòâî ìåðû íîëü â
ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.1.1. Ëåììà äîêàçàíà. Î÷åâèäíî

Ñëåäñòâèå 1.2.1. Åñëè ìåðà ìíîæåñòâà è èíòåãðàë ñâÿçàíû ðàâåí-
ñòâîì                           Z
                       µ(A) =       I(A | x) µ(dx),                  (1.128)

òî îïðåäåëåíèÿ 1.1.2 1.1.3 ýêâèâàëåíòíû îïðåäåëåíèÿì

Îïðåäåëåíèå 1.2.11. 1. Ñâîéñòâî P (x) ñïðàâåäëèâî ïî÷òè âñþäó, åñëè
ìíîæåñòâî òî÷åê x ∈ X, ãäå ñâîéñòâî P (x) íå ñïðàâåäëèâî, åñòü ìíîæå-
ñòâî, ìåðà êîòîðîãî â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ (1.128), ðàâíà íóëþ.

     Ýêâèâàëåíòíàÿ ôîðìóëèðîâêà: ïóñòü      P (x)   -ôóíêöèÿ íà ìíîæåñòâå
X,   êîòîðàÿ ïðèíèìàåò äâà çíà÷åíèÿ:

                  P : X 3 x 7→ P (x) ∈ {truth , f alse}

Òîãäà

Îïðåäåëåíèå 1.2.12. P (x) = truth ïî÷òè âñþäó, åñëè µ({x | P (x) =
f alse}) = 0.

                                    60

Страницы