Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

σ
A
I
f(x)
f(x) ∈ L(X),
σ A
I
f(x) ∈ L(X)
I({x | f(x) < a} | x)
I({x | f(x) < a} | x) = lim
n→∞
min(1 , n(a − f(x))
+
).
f(x) = x
−2
(0 , 1]
f(x) µ(dx)
µ(dx)
µ(dx).
|f(x)| ≤ 1.
S
n
=
X
|m|≤2
n
m2
−n
µ({x | m2
−n
≤ f(x) < (m + 1)2
−n
}).
m2
−n
µ({x | m2
−n
≤ f(x) < (m + 1)2
−n
}) =
2m2
−(n+1)
µ({x | 2m2
−(n+1)
≤ f(x) < (2m + 1)2
−(n+1)
})
+ 2m2
−(n+1)
µ({x | (2m + 1)2
−(n+1)
≤ f(x) < (2m + 2)2
−(n+1)
})
S
n
S
n+1
|S
n
− S
n+1
| ≤ const.2
−n
,
õîòÿ åãî, âîîáùå ãîâîðÿ, íåëüçÿ âû÷èñëèòü êàê ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ
ñóìì.
   Îáîçíà÷èì σ -àëãåáðó èçìåðèìûõ â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.2.9 ìíî-
æåñòâ ñèìâîëì AI .

Ëåììà 1.2.3. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà:
                               f (x) ∈ L(X),

òî îíà èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî       σ -àëãåáðû AI .

   Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü f (x) ∈ L(X). Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî õàðàê-
òåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ I({x | f (x) < a} | x) èíòåãðèðóåìà. Ýòî ñëåäóåò
èç òåîðåìû Áåïïî Ëåâè è ðàâåíñòâà

            I({x | f (x) < a} | x) = lim min(1 , n(a − f (x))+ ).
                                    n→∞

Èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü íå èíòåãðèðóåìà â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ
1.2.8. Ïðèìåð: ôóíêöèÿ f (x) = x−2 íà ïîëóèíòåðâàëå (0 , 1] ñ îáû÷íîé
ìåðîé Ëåáåãà. Îäíàêî ñïðàâåäëèâà

Ëåììà 1.2.4. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî ìåðû µ(dx)
è ïî÷òè âñþäó ïî ìåðå   µ(dx) îãðàíè÷åíà, òî îíà èíòåãðèðóåìà â ñìûñëå
îïðåäåëåíèÿ 1.2.8 ïî   ìåðå µ(dx).

   Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç îãàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî

                              ï.â. |f (x)| ≤ 1.

 ýòîì ñëó÷àå ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè (1.115) ñóììà òàêîâà:
            X
      Sn =       m2−n µ({x | m2−n ≤ f (x) < (m + 1)2−n }).          (1.125)
            |m|≤2n


Êàæäîå ñëàãàåìîå â ýòîé ñóììå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

     m2−n µ({x | m2−n ≤ f (x) < (m + 1)2−n }) =
     2m2−(n+1) µ({x | 2m2−(n+1) ≤ f (x) < (2m + 1)2−(n+1) })
      + 2m2−(n+1) µ({x | (2m + 1)2−(n+1) ≤ f (x) < (2m + 2)2−(n+1) })

Âû÷èòàÿ ïîñëå ýòîãî èç ñóììû Sn ñóììó Sn+1 , ìû ëåãêî ïîëó÷àåì îöåíêó

                         |Sn − Sn+1 | ≤ const.2−n ,

                                     58

Страницы