Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

F (t)
n
→ +0 , n → ∞
[a , t] =
\
n
[a , t +
n
].
∀(x ∈ [a , b]) : I([a , t +
n
] | x) & I([a , t] | x) , n → ∞,
F (t +
n
) =
Z
a≤x≤b
(I([a , t +
n
] | x)µ(dx) →
Z
a≤x≤b
(I([a , t] | x)µ(dx) = F (t).
F (t)
µ(dx)
F (a) = 0
[a
0
, b] , a
0
< a
a = x
0
< x
1
< . . . < x
n
= b
[a , b] g(x)
[a , b]
∀(x ∈ (x
j
, x
(j+1)
] , 0 ≤ j ≤ (n − 1)) : g
n
(x) = g(ξ
j
) , ξ
j
∈ (x
j
, x
(j+1)
],
δ
n
= max{|x
j+1
− x
j
| | 1 ≤ j ≤ (n − 1)}.
g
n
(x) {x
j
} ξ
j
∀(x ∈ [a , b]) : g
n
(x) → g(x) , n → ∞, δ
n
→ 0,
|g
n
(x)| ≤ sup{|g(x)| | x ∈ [a , b]}.
g
n
(x) (x
j
, x
j+1
]
(x
j
, x
j+1
]
[a , x
j+1
] [a , x
j
]
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ìîíîòîííîñòü ôóíêöèè F (t) î÷åâèäíà. Äîêàæåì åå
íåïðåðûâíîñòü ñïðàâà. Ïóñòü n → +0 , n → ∞. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                           \
                               [a , t] =       [a , t + n ].
                                           n


Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

            ∀(x ∈ [a , b]) : I([a , t + n ] | x) & I([a , t] | x) , n → ∞,

ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû Áåïïî Ëåâè
               Z                              Z
 F (t + n ) =   (I([a , t + n ] | x)µ(dx) →                   (I([a , t] | x)µ(dx) = F (t).
              a≤x≤b                                   a≤x≤b


Ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî.
   Ôóíêöèÿ F (t) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîðîæäåííîé ìå-
ðîé µ(dx).  äàëüíåøåì ïî óìîë÷àíèþ ìû áóäåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëå-
íèÿ íîðìèðîâàòü óñëîâèåì
                              F (a) = 0
(èíà÷å ìîæíî ðàññìàòðèâàòü îòðåçîê [a0 , b] , a0 < a).
   Ïóñòü
                     a = x0 < x1 < . . . < xn = b
ðàçáèåíèå îòðåçêà [a , b]. Ïóñòü ôóíêöèÿ g(x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå
[a , b]. Ïîëîæèì

    ∀(x ∈ (xj , x(j+1) ] , 0 ≤ j ≤ (n − 1)) : gn (x) = g(ξj ) , ξj ∈ (xj , x(j+1) ],
    δn = max{|xj+1 − xj | | 1 ≤ j ≤ (n − 1)}.

Ôóíêöèÿ gn (x) çàâèñèò îò ðàçáèåíèÿ {xj } è âûáîðà òî÷åê ξj , íî

                 ∀(x ∈ [a , b]) : gn (x) → g(x) , n → ∞ , δn → 0,                     (1.121)

è
                        |gn (x)| ≤ sup{|g(x)| | x ∈ [a , b]}.
Äàëåå ìû çàìå÷àåì, ÷òî
   1. ôóíêöèÿ gn (x) ïîñòîÿííà íà ïîëóèíòåðâàëàõ (xj , xj+1 ],
   2. õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïîëóèíòåðâàëà (xj , xj+1 ] åñòü ðàç-
íîñòü õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé îòðåçêîâ [a , xj+1 ] è [a , xj ].

                                           56

Страницы