Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Z
a≤x≤b
g(x)µ(dx) = lim
δ
n
→0
Z
a≤x≤b
g
n
(x)µ(dx) =
lim
δ
n
→0
X
0≤j≤n−1
g(ξ
j
)(F (x
(j+1)
) − F (x
j
))
!
.
g(x)
F (x)
lim
δ
n
→0
X
0≤j≤n−1
g(ξ
j
)(F (x
(j+1)
) − F (x
j
))
!
=
Z
b
a
g(x)d
x
F (x).
[a , b]
g(x)
(x
j
, x
j+1
]
F (x)
[a , b] , F (a) = 0 C([a , b])
∀(g ∈ C([a , b])): I
0
(g) = lim
δ
n
→0
X
0≤j≤n
g(ξ
j
)(F (x
(j+1)
) − F (x
j
))
!
.
I(g)
I
0
(g)
I(g)
Z
b
a
g(x)d
x
F (x) := I(g),
   Ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû Ëåáåãà
                Z                   Z
                    g(x)µ(dx) = lim                  gn (x)µ(dx) =
                                        δn →0
                 a≤x≤b                       a≤x≤b
                                                               !
                           X
                  lim               g(ξj )(F (x(j+1) ) − F (xj )) .    (1.122)
                  δn →0
                          0≤j≤n−1

Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Ñóììà, êîòîðàÿ ñòîèò â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.122), íàçûâàåòñÿ
èíòåãðàëüíîé ñóììîé Ðèìàíà-Ñòèëüòüåñà îò ôóíêöèè g(x) ïî ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ F (x), à èíòåãðàë, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ êàê ïðåäåë òàêèõ
ñóìì, íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ðèìàíà-Ñòèëüòüåñà è îáîçíà÷àåòñÿ òàê:
                                               ! Z
            X                                      b
     lim          g(ξj )(F (x(j+1) ) − F (xj )) =    g(x)dx F (x). (1.123)
     δn →0                                               a
             0≤j≤n−1

Ìû äîêàçàëè, ÷òî åñëè îñíîâíîå ïðîñòðàíñòâî åñòü îòðåçîê [a , b], ïðî-
ñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ñîäåðæèò âñå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè è
â èíòåãðàëå Äàíèýëÿ èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà , òî èíòåãðàë
Äàíèýëÿ ìîæåò áûòü âû÷èñëåí êàê ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì Ðèìàíà-
Ñòèëüòüåñà.
Çàìå÷àíèå    1.2.1. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñïðàâåäëèâî
äëÿ áîëåå øåðîêîãî êëàññà ôóíêöèé: ôóíêöèé g(x), êîòîðûå ìîæíî ïðåä-
ñòàâèòü êàê ðàâíîìåðíûé ïðåäåë êóñî÷íî ïîñòîÿííûõ íà ïîëóèíòåðâà-
ëàõ (xj , xj+1 ] ôóíêöèé.
    Ïóñòü F (x) - íåïðåðûâíàÿ ñïðàâà íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåç-
êå [a , b] , F (a) = 0. Íà ìíîæåñòâå âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé C([a , b])
îïðåäåëèì ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë ôîðìóëîé
                                                                     !
                                   X
  ∀(g ∈ C([a , b])) : I0 (g) = lim      g(ξj )(F (x(j+1) ) − F (xj )) . (1.124)
                              δn →0
                                       0≤j≤n

Ïóñòü I(g) èíòåãðàë Äàíèýëÿ, ïîñòðîåííûé ïî îïðåäåëÿåìîìó ôîðìóëîé
(1.124) ýëåìåíòàðíîìó èíòåãðàëó I0 (g).
Îïðåäåëåíèå 1.2.10. Èíòåãðàë I(g) ìû áóäåì íàçûâàòü èíòåãðàëîì
Ëåáåãà-Ñòèëüòüåñà.
   Ìû áóäåì îáîçíà÷àòü èíòåãðàë Ëåáåãà-Ñòèëüòüåñà ñèìâîëîì
                      Z b
                          g(x)dx F (x) := I(g),
                             a

                                          57

Страницы