Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

X
X = [a , b] ⊂ R
1
.
L
0
([a , b])
C([a , b]) ⊂ L
0
([a , b]),
σ
σ [a , b]
σ
[a , b]
a < α < β < b
[a , α) , (α , β) , (β , b]
φ
n,1
(x) = min(1 , n(α − x)
+
),
φ
n,2
(x) = min(1 , n(β − x)
+
, n(x − α)
+
),
φ
n,3
(x) = min(1 , n(x − β)
+
).
∀x : φ
n,1
(x) → I([a , α) | x) , n → ∞, |φ
n,1
(x) ≤ 1,
∀x : φ
n,2
(x) → I((α , β) | x) , n → ∞, |φ
n,2
(x) ≤ 1,
∀x : φ
n,3
(x) → I((β , b] | x) , n → ∞, |φ
n,3
(x) ≤ 1
µ(dx)
F (t) :=
Z
a≤x≤b
(I([a , t] | x)µ(dx).
F (t)
[a , b]
∀t ∈ [a , b] : F (t + 0) = F (t).
g(t) [a , b]
Òåîðåìà 1.2.2. Ïóñòü îñíîâíîå ïðîñòðàíñòâî X                             åñòü îòðåçîê äåé-
ñòâèòåëüíîé îñè:
                                        X = [a , b] ⊂ R1 .
Åñëè ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé                       L0 ([a , b]) ñîäåðæèò âñå íåïðå-
ðûâíûå ôóíêöèè:
                                     C([a , b]) ⊂ L0 ([a , b]),
òî   σ -àëãåáðà âñåõ èçìåðèìûõ â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.2.9 ìíîæåñòâ ñî-
äåðæèò     σ -àëãåáðó áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ îòðåçêà [a , b], ò. å. íàèìåíü-
øóþ σ -àëãåáðó, êîòîðàÿ ñîäåðæèò âñå îòêðûòûå ìíîæåñòâà îòðåçêà
[a , b].
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a < α < β < b. Íàì äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî
õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ìíîæåñòâ [a , α) , (α , β) , (β , b] èíòåãðè-
ðóåìû.
   Ïîëîæèì

                        φn,1 (x) = min(1 , n(α − x)+ ),
                        φn,2 (x) = min(1 , n(β − x)+ , n(x − α)+ ),
                        φn,3 (x) = min(1 , n(x − β)+ ).

Òîãäà

                   ∀x : φn,1 (x) → I([a , α) | x) , n → ∞, |φn,1 (x) ≤ 1,
                   ∀x : φn,2 (x) → I((α , β) | x) , n → ∞, |φn,2 (x) ≤ 1,
                   ∀x : φn,3 (x) → I((β , b] | x) , n → ∞, |φn,3 (x) ≤ 1

è èíòåãðèðóåìîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ìíî-
æåñòâ âûòåêàåò èç òåîðåìû Ëåáåãà (ñì. 34). Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òåîðåìà 1.2.3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ ïðåäûäóùåé òåîðåìû, µ(dx)
-ïîðîæäåííàÿ èíòåãðàëîì ìåðà 1.116,
                                          Z
                              F (t) :=           (I([a , t] | x)µ(dx).                 (1.120)
                                         a≤x≤b

Òîãäà:
     1. Ôóíêöèÿ       F (t)   ìîíîòîííî íå óáûâàåò è íåïðåðûâíà ñïðàâà íà îò-
ðåçêå   [a , b]:
                               ∀t ∈ [a , b] : F (t + 0) = F (t).
     2. Åñëè ôóíêöèÿ          g(t)   íåïðåðûâíà íà îòðåçêå          [a , b],   òî ñïðàâåäëèâî
ðàâåíñòâî      (1.122).

                                                  55

Страницы