Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
i
A
i
\
A
j
= ∅ , i 6= j.
A =
S
i
A
i
µ(
[
i
A
i
) =
X
i
µ(A
i
).
A ⊂ X , B ⊂ X
I(A | x) + I(B | x) = I(A
[
B | x) + I(A
\
B | x)
I(I(A | ·)) + I(I(B | ·)) = I(I(A
[
B | ·)) + I(I(A
\
B | ·)).
I(A | x) =
X
i
I(A
i
| x).
I(
X
1≤i≤n
I(A
i
| ·)) ≤ 1.
C(X)
Ëåììà 1.2.2. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ â ñìûñëå îïðåäå-
ëåíèÿ 1.2.9 ìíîæåñòâ   Ai   óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
                                 \
                            Ai       Aj = ∅ , i 6= j.          (1.117)
                                    S
Òîãäà îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ     A = i Ai èçìåðèìî â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ
1.2.9 è                       [       X
                            µ( Ai ) =   µ(Ai ).                (1.118)
                                 i            i

   Äîêàçàòåëüñòâî.Âî-ïåðâûõ çàìåòèì, ÷òî èç ñïðàâåäëèâîãî ïðè âñåõ
A ⊂ X , B ⊂ X ðàâåíñòâà
                                    [            \
           I(A | x) + I(B | x) = I(A B | x) + I(A B | x)

ñëåäóåò êîíå÷íàÿ àääèòèâíîñòü îïðåäåëåííîé ðàâåíñòâîì (1.116) ôóíê-
öèè ìíîæåñòâ:
                                        [               \
       I(I(A | ·)) + I(I(B | ·)) = I(I(A B | ·)) + I(I(A B | ·)).

Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (1.117) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                 X
                      I(A | x) =    I(Ai | x).                 (1.119)
                                          i

Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó óñëîâèÿ (1.117) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
                            X
                         I(     I(Ai | ·)) ≤ 1.
                              1≤i≤n


 ñèëó ëåììû Áåïïî Ëåâè îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü(1.119) åñòü
èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1.118). Ëåììà äîêà-
çàíà.
   Èç ëåìì 1.2.1 è 1.2.2 âûòåêàåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1.2.1
   Â òåîðèè èíòåãðàëà èçâåñòíà òåîðåìà (òåîðåìà Ðèññà è åå îáîáùåíèå:
òåîðåìà Ðèññà-Ìàðêîâà-Êàêóòàíè), êîòîðàÿ óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè îïðå-
äåëåííûõ óñëîâèÿõ ëþáîé ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà ïðî-
ñòðàíñòâå C(X) ïðåäñòàâèì êàê èíòåãðàë. Ïðè îïðåäåëåíèè èíòåãðàëà
ïî ñõåìå Äàíèýëÿ íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë ïî îïðåäåëåíèþ åñòü èíòå-
ãðàë, à ëåììû 1.2.1 è 1.2.2 óòâåðæäàþò, ÷òî òàêîé ôóíêöèîíàë ïîðîæ-
äàåò ìåðó, ïîýòîìó äîêàçàííîå íàìè óòâåðæäåíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü
êàê àíàëîã òåîðåìû Ðèññà â ñõåìå Äàíèåëÿ.
   Â äàëüíåøåì íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

                                        54

Страницы