Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f
X [−1 , 1]
Y [0 , 1] σ Y σ
[0 , 1] f(x) = x
2
. g(x) = |x|
σ f
−1
(Y) g(x) = max(0 , x)
f(x) σ
A σ A µ
µ
Z
X
f(x) µ(dx) :=
lim
n→∞
X
−∞<k<∞
2
−n
kµ({x | 2
−n
k ≤ f(x) < 2
−n
(k + 1)}),
n
µ
?
0
[0 , 1]
X
L
0
(X) I
0
L
0
(X)
I L(X)
L
0
(X) I
0
I
σ X σ
ôóíêöèÿ f ïðîñòàÿ, ò.å. ïðèíèìàåò êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé, à îáùèé
ñëó÷àé ïîëó÷àåòñÿ àïïðîêñèìàöèåé ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ïðîñòûìè.
   Ïðèâåäåì ïðîñòîé ïðèìåð. Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî X åñòü îòðåçîê [−1 , 1],
ïðîñòàíñòâî Y åñòü îòðåçîê [0 , 1] è σ -àëãåáðà Y åñòü σ -àëãåáðà áîðåëåâ-
ñêèõ ìíîæåñòâ îòðåçêà [0 , 1]. Ïóñòü f (x) = x2 . Òîãäà ôóíêöèÿ g(x) = |x|
èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî σ -àëãåáðû f −1 (Y), à ôóíêöèÿ g(x) = max(0 , x)
-íåò.

Îïðåäåëåíèå 1.2.8. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî σ-àëãåáðû
A ñ çàäàííîé íà σ -àëãåáðå A ìåðîé µ, òî åå èíòåãðàëîì Ëåáåãà ïî ìåðå
µ íàçûâàåòñÿ ïðåäåë
       Z
           f (x) µ(dx) :=
         X
               X
        lim          2−n kµ({x | 2−n k ≤ f (x) < 2−n (k + 1)}), (1.115)
        n→∞
              −∞

Страницы