Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a ∈ R
1
B = {x | f(x) < a} =
[
j>1
{x | f(x) ≤ a − 1/j}
σ
σ
f(x)
{x | f(x) ≥ a} = X \ {x | f(x) < a},
{x | f(x) > a} = X \ {x | f(x) ≤ a}
f(x)
a ∈ R
1
{x | f(x) < a} , {x | f(x) ≤ a},
{x | f(x) > a} , {x | f(x) ≥ a}
a ∈ R
1
f(x)
B ⊂ R
1
f
−1
(B) B
σ A
X [0 , 1] σ
g(x) σ
σ f
−1
(B) f
g(x) σ f
−1
(B)
φ g(x) = φ(f(x))
èçìåðèìî, òî ïðè ëþáîì a ∈ R1 ìíîæåñòâî
                                   [
             B = {x | f (x) < a} =   {x | f (x) ≤ a − 1/j}            (1.114)
                                     j>1

èçìåðèìî, òàê êàê ñ÷åòíîå îáúåäèíåíèå ïðèíàäëåæàùèõ σ -àëãåáðå ìíî-
æåñòâ ñíîâà ïðèíàäëåæèò ýòîé σ -àëãåáðå.
   Äàëåå çàìåòèì, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f (x) èçìåðèìà, òî ìíîæåñòâà

                  {x | f (x) ≥ a} = X \ {x | f (x) < a},
                  {x | f (x) > a} = X \ {x | f (x) ≤ a}

èçìåðèìû êàê äîïîëíåíèÿ ê èçìåðèìûì ìíîæåñòâàì.
   Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè ñëåäóþùå

Óòâåðæäåíèå 1.2.1. Ôóíêöèÿ f (x) èçìåðèìà â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ
1.2.6 â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè ïðè âñåõ            a ∈ R1   êàêîå ëèáî
èç ìíîæåñòâ

                     {x | f (x) < a} , {x | f (x) ≤ a},
                     {x | f (x) > a} , {x | f (x) ≥ a}

èçìåðèìî, è èçìåðèìîñòè ïðè âñåõ         a ∈ R1   îäíîãî èç ýòèõ ìíîæåñòâ
ñëåäóåò èçìåðèìîñòü îñòàëüíûõ.

   Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ

Óòâåðæäåíèå 1.2.2. Ôóíêöèÿ f (x) èçìåðèìà â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ
1.2.6 â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè êàêîâî áû íè áûëî áîðåëåâñêîå
ìíîæåñòâî     B ⊂ R1 , ïîëíûé ïðîîáàç f −1 (B) ìíîæåñòâà B ïðèíàäëå-
æèò   σ -àëãåáðå A, ò.å. îïðåäåëåíèÿ 1.2.6 è 1.2.5 ýêâèâàëåíòííû.

     çàäà÷àõ òåîðèè ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîé ïåðåìåííîé â êà÷åñòâå
ìíîæåñòâà X îáû÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ îòðåçîê [0 , 1] ñ σ -àëãåáðîé èçìå-
ðèìûõ ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâ.  ýòîì ñëó÷àå ïîíÿòèå èçìåðèìîñòè îêà-
çûâàåòñÿ î÷åíü øèðîêèì è ïðèìåðû íåèçìåðèìûõ ôóíêöèé ñòðîÿòñÿ ñ
òðóäîì.
     çàäà÷àõ òåîðèè âåðîÿòíîñòè èíòåðåñóþòñÿ èçìåðèìîñòüþ ôóíê-
öèè g(x) îòíîñèòåëüíî íàèìåíüøåé σ -àëãåáðû, êîòîðàÿ ñîäåðæèò âñå
σ -àëãåáðû âèäà f −1 (B), ãäå f -îòîáðàæåíèå èç íåêîòîðîãî êëàññà îòîá-
ðàæåíèé. Ýòà çàäà÷à íåòðèâèàëüíà, òàê êàê ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå:
ôóíêöèÿ g(x) èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî σ -àëãåáðû f −1 (B), åñëè ñóùåñòâó-
åò òàêàÿ ôóíêöèÿ φ, ÷òî g(x) = φ(f (x)). Ýòî î÷åâèäíî â òîì ñëó÷àå, åñëè

                                    51

Страницы