Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

σ A
A4B := (A
[
B) \ (A
\
B).
I(A4B | x) = |I(A | x) − I(B | x)|,
d(A , B) := µ
?
(A4B)
X
X σ A
σ A
σ A
X
L
0
(X)
f(x) =
X
1≤j≤N
α
j
I(A
j
| x) , α
j
∈ R
1
,
A
j
∈ A ,
[
j
A
j
= X , A
j
\
A
i
= ∅ , j 6= i.
I
0
(f) :=
X
j
α
j
µ(A
j
)
σ A
L(X)
σ µ
σ µ
A = Ext
µ
(A)
X σ A Y
σ B
f : X 7→ Y
   Äðóãîé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ëåáåãîâñêîãî ðàñøèðåíèÿ σ -àëãåáðû A ñî-
ñòîèò â ñëåäóþùåì. Ðàññìîòðèì ñèììåòðè÷íóþ ðàçíîñòü äâóõ ìíîæåñòâ
                               [          \
                    A4B := (A B) \ (A B).

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî

                    I(A4B | x) = |I(A | x) − I(B | x)|,

ïîýòîìó ôóíêöèÿ
                          d(A , B) := µ? (A4B)                     (1.111)
îïðåäåëÿåò ðàññòîÿíèå íà ïîäìíîæåñòâàõ ìíîæåñòâà X (èëè, â äðóãîé
èíòåðïðåòàöèè, íà ìíîæåñòâå âñåõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîäìíî-
æåñòâ ìíîæåñòâà X ). Çàìûêàíèå σ -àëãåáðû A, ðàññìàòèâàåìîé êàê ïîä-
ìíîæåñòâî ïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ñ ðàññòîÿíèåì (1.111), è
áóäåò ëåáåãîâñêèì ðàñøèðåíèåì σ -àëãåáðû A.
   Â ðàìêàõ ñõåìû Äàíèýëÿ ëåáåãîâñêîå ðàñøèðåíèå σ -àëãåáðû A ìîæíî
ïîëó÷èòü òàê. Îïðåäåëèì íà ïðîñòðàíñòâå X ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ
ôóíêöèé L0 (X) êàê ìíîæåñòâî ôóíêöèé âèäà
                           X
                   f (x) =     αj I(Aj | x) , αj ∈ R1 ,
                              1≤j≤N

ãäå                      [                  \
              Aj ∈ A ,        Aj = X , Aj       Ai = ∅ , j 6= i.
                          j

Íà ýòîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé îïðåäåëèì ýëåìåíòàðíûé
èíòåãðàë ôîðìóëîé                  X
                        I0 (f ) :=   αj µ(Aj )
                                      j

è äàëåå áóäåì äåéñòâîâàòü ïî ñõåìå Äàíèýëÿ. Òîãäà ýëåìåíòàìè ïîïîëíå-
íèÿ σ -àëãåáðû A áóäóò òå ïîäìíîæåñòâà, õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè
êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó L(X).
    ×àñòî ïî óìîë÷àíèþ ñ÷èòàþò, ÷òî åñëè íà σ -àëãåáðå çàäàíà ìåðà µ,
òî ýòà σ -àëãåáðà ìíîæåñòâ óæå ïîïîëíåíà ïî ìåðå µ, ò.å. ñ÷èòàþò, ÷òî
A = Extµ (A). Íèæå ìû íå áóäåì äåëàòü ýòî ïðåäïîëîæåíèå. Ñëåäóåò
çàìåòèòü, ÷òî åñëè â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ìåðû âõîäèò áîëüøå íóëåâûõ
ïîäìíîæåñòâ, òî âõîäèò è áîëüøå èõ äîïîëíåíèé, ïîýòîìó èçìåíÿåòñÿ
ñîäåðæàíèå ïîíÿòèÿ ïî÷òè âñþäó.
    Ïóñòü íà ìíîæåñòâå X çàäàíà σ -àëãåáðà A, íà ìíîæåñòâå Y çàäàíà
σ -àëãåáðà B è
                               f : X 7→ Y

                                      49

Страницы