Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

[0 , 1] σ
(a , b) ⊂ [0 , 1]
[0 , 1]
X
X σ
X
X
B(X)
σ A
µ : A 7→ [0 , 1]
µ(∅) = 0 , µ(X) = 1
σ
∀(A
i
∈ A, A
i
\
A
j
= ∅, i 6= j) : µ(
X
i
A
i
) =
X
i
µ(A
i
).
σ
σ µ
A
n
X
A
n
∈ A , A
n+1
⊂ A
n
,
\
n
A
n
= ∅,
µ(A
n
) → 0 , n → ∞.
C(A
n
) =
[
1≤m≤n
C(A
n
) \ C(A
n−1
), A
0
= ∅,
1 = µ(X) = lim
n→∞
µ(C(A
n
)) =
1 − lim
n→∞
µ(A
n
).
σ
   Ðàññìîòðèì îòðåçîê [0 , 1]. Íàèìåíüøàÿ σ -àëãåáðà, êîòîðàÿ ñîäåðæèò
âñå îòêðûòûå èíòåðâàëû (a , b) ⊂ [0 , 1], íàçûâàåòñÿ áîðåëåâñêîé àëãåá-
ðîé ìíîæåñòâ îòðåçêà [0 , 1].
   Åñëè X -òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, òî áîðåëåâñêîé àëãåáðîé ìíî-
æåñòâà X íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøàÿ σ -àëãåáðà, êîòîðàÿ ñîäåðæèò âñå îò-
êðûòûå ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà X .
   Àëãåáðó áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X ìû
áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì B(X).
Îïðåäåëåíèå 1.2.2. Çàäàííàÿ íà σ-àëãåáðå A ôóíêöèÿ ìíîæåñòâ
                                 µ : A 7→ [0 , 1]
íàçûâàåòñÿ ìåðîé , åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì íîðìèðîâêè:

                              µ(∅) = 0 , µ(X) = 1                   (1.104)

è σ -àääèòèâíà:
                      \                        X        X
      ∀(Ai ∈ A , Ai       Aj = ∅ , i 6= j) : µ(  Ai ) =   µ(Ai ).   (1.105)
                                               i        i

   Èíîãäà óñëîâèå σ -àääèòèâíîñòè íå âêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèå ìåðû.
   Èç (1.105) ñëåäóåò, ÷òî σ -àääèòèâíàÿ ìåðà µ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:
åñëè An òàêàÿ ñèñòåìà ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X , ÷òî
                                          \
                    An ∈ A , An+1 ⊂ An ,    An = ∅,             (1.106)
                                                   n

òî
                              µ(An ) → 0 , n → ∞.                   (1.107)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî
                         [
              C(An ) =       C(An ) \ C(An−1 ), A0 = ∅,
                             1≤m≤n

ïîýòîìó

                          1 = µ(X) = lim µ(C(An )) =
                                      n→∞
                          1 − lim µ(An ).
                             n→∞

   σ -àääèòèâíûå ìåðû òàêæå íàçûâàþò ñ÷åòíî-àääèòèâíûìè ìåðàìè.
×àñòî ðàññìàòðèâàþò ìåðû, êîòîðûå íå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ íîðìè-
ðîâêè, à ìåðû, êîòîðûå ýòîìó óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿþò, íàçûâàþò âåðî-
ÿòíîñòíûìè ìåðàìè. Â ýòîì ïàðàãðàôå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìåðû,
êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ íîðìèðîâêè, ò.å. âåðîÿòíîñòíûå ìåðû.

                                       47

Страницы