Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

µ
0
[0 , 1]
∀(a , b) ⊂ [0 , 1] : µ
0
((a , b)) = b − a.
[0 , 1]
X
X
σ
X
σ A µ
µ
?
X
∀A ⊂ X : µ
?
(A) = inf{µ(B) | B ∈ A, A ⊂ B}.
A ⊂ X
µ
?
(A) + µ
?
(X \ A) = 1.
A µ
?
(A).
σ
σ A µ
σ Ext
µ
(A).
σ A µ
?
(A) σ Ext
µ
(A)
µ
µ
σ A µ
Z ⊂ A , A ∈ A , µ(A) = 0
Z ∈ A , µ(Z) = 0.
σ
   Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ìåðà µ0 , îáëàñòü çà-
äàíèÿ êîòîðîé åñòü áîðåëåâñêàÿ àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ îòðåçêà [0 , 1] è
êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

                    ∀ (a , b) ⊂ [0 , 1] : µ0 ((a , b)) = b − a.   (1.108)

Ýòó ìåðó ìû áóäåì íàçûâàòü ñòàíäàòðíîé ìåðîé Áîðåëÿ èëè ïðîñòî
áîðåëåâñêîé ìåðîé íà îòðåçêå [0 , 1].
   Åñëè X -òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, òî â îáùåì ñëó÷àå áîðåëåâñêîé
ìåðîé íà ïðîñòðàíñòâå X íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ ìåðà, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
êîòîðîé åñòü íàèìåíüøàÿ σ -àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ âñå îòêðûòûå ïîäìíî-
æåñòâà ìíîæåñòâà X .
   Åñëè íà σ -àëãåáðå A çàäàíà íåêîòîðàÿ ìåðà µ, òî îòâå÷àþùåé ýòîé
ìåðå âíåøíåé ìåðîé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâ µ? , êîòîðàÿ äëÿ âñåõ
ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X îïðåäåëåíà ðàâåíñòâîì

               ∀A ⊂ X : µ? (A) = inf{µ(B) | B ∈ A , A ⊂ B}.       (1.109)



Îïðåäåëåíèå 1.2.3. Ìíîæåñòâî A ⊂ X íàçûâàåòñÿ èçìåðèìûì ïî Ëå-
áåãó,   åñëè âûïîëíåíî ðàâåíñòâî

                           µ? (A) + µ? (X \ A) = 1.               (1.110)

è â ýòîì ñëó÷àå ìåðîé Ëåáåãà ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ ÷èñëî µ? (A).

   Ìíîæåñòâî âñåõ èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâ îáðàçóåò σ -àëãåáðó,
êîòîðàÿ çàâèñèò êàê îò èñõîäíîé σ -àëãåáðû A, òàê è îò ìåðû µ. Îáîçíà-
÷èì ýòó σ -àëãåáðó ñèìâîëîì Extµ (A). Îíà íàçûâàåòñÿ ëåáåãîâñêèì ðàñ-
øèðåíèåì σ -àëãåáðû A. Ôóíêöèÿ ìíîæåñòâ µ? (A) íà σ -àëãåáðå Extµ (A)
îïðåäåëÿåò ìåðó, êîòîðóþ íàçûâàþò ëåáåãîâñêèì ïðîäîëæåíèåì ìåðû µ
(èëè ìåðîé Ëåáåãà) è îáîçíà÷àþò òåì æå ñèìâîëîì µ.

Îïðåäåëåíèå 1.2.4. Çàäàííàÿ íà σ-àëãåáðå A ìåðà µ íàçûâàåòñÿ ïîë-
íîé ìåðîé ,åñëè èç òîãî ôàêòà, ÷òî Z ⊂ A , A ∈ A , µ(A) = 0 ñëåäóåò,
÷òî Z ∈ A , µ(Z) = 0.

    Ìåðà Ëåáåãà ïîëíà, à ëåáåãîâñêîå ðàñøèðåíèå σ -àëãåáðû ñ çàäàííîé
íà íåé ñ÷åòíî-àäèòèâíîé ìåðîé ìîæíî ïîëó÷èòü (ñì. äîêàçàòåëüñòâî â [9]
. ãë. 1, ïðåäëîæåíèå 1.4.6). , åñëè äîïîëíèòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ìåðû
âñåìè ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâ ìåðû íîëü è íà ýòèõ ïîäìíîæåñòâàõ
äîîïðåäåëèòü ìåðó íóëåì.

                                        48

Страницы