Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

σ
f(x) ∈
L(D)
f(x) = (x(x + 1)
2
(x −1)
−2
ln
2
x)
−1/α
, α > 1.
f(x) ∈ L
α
([0 , ∞)) f(x) 6∈ L
p
([0 , ∞)) , p 6= α.
A X
1. ∅ ∈ A , X ∈ A.
2. ∀(A ∈ A , B ∈ A) : A
\
B ∈ A , A
[
B ∈ A , A \ B ∈ A.
σ
∀(A
i
∈ A) :
[
A
i
∈ A ,
\
i
A
i
∈ A.
σ
σ
Óñëîâèÿ (1.100)-(1.103) àíàëîãè÷íû óñëîâèþ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè
íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà Ðèìàíà è ÿâëÿåòñÿ óïðîùåííûì âàðèàíòîì
óñëîâèÿ ðàâíîìåðíîé èíòåãðèðóåìîñòè (ñì. [4, 5]). Ïðè èññëåäîâàíèè âî-
ïðîñà î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå â èíòåãðàëå óñëîâèÿ òèïà ðàâíîìåðíîé èí-
òåãðèðóåìîñòè îáû÷íî íàëàãàþòÿ â òîì ñëó÷àå, åñëè èíòåãðàë ïîíèìà-
åòñÿ êàê íåñîáñòâåííûé èëè êàê èíòåãðàë ïî σ -êîíå÷íîé, íî íå êîíå÷íîé
ìåðå.
   Çàìåòèì, ÷òî â îïðåäåëåíèè 1.1.14 íå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî f (x) ∈
L(D). Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ïóñòü

               f (x) = (x(x + 1)2 (x − 1)−2 ln2 x)−1/α , α > 1.

Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî f (x) ∈ Lα ([0 , ∞)), íî f (x) 6∈ Lp ([0 , ∞)) , p 6= α.


1.2     Ìåðà è èçìåðèìûå ôóíêöèè.

1.2.1    Ñâîäêà îñíîâíûõ îïðåäåëåíèé òåîðèè ìåðû.

Ïîíÿòèå ìåðû ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ â àíàëèçå è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå.
Ïðèâåäåì êðàòêóþ ñâîäêó ñîîòâåòñòâóþùèõ îïðåäåëåíèé. Ïîäðîáíî ñ
ýòèìè ïîíÿòèÿìè â êëàññè÷åñêîé òðàêòîâêå ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ ïî ïðè-
âåäåííîìó â êîíöå ãëàâû ñïèñêó ëèòåðàòóðû. Â ñëåäóþùåì ïóíêòå ìû
ðàçáåðåì, êàê ýòè ïîíÿòèÿ ââîäÿòñÿ â ïðèíÿòîé íàìè ñõåìå Äàíèýëÿ.

Îïðåäåëåíèå 1.2.1. Ñèñòåìà A ïîäìíîæåòñâ ìíîæåñòâà X íàçûâàåòñÿ
àëãåáðîé ìíîæåñòâ ,    åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ:

         1. ∅ ∈ A , X ∈ A.
                                   \                [
         2. ∀(A ∈ A , B ∈ A) : A       B∈A, A           B ∈ A , A \ B ∈ A.

Àëãåáðà ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿ σ -àëãåáðîé , åñëè îíà çàìêíóòà îòíîñè-
òåëüíî ñ÷åòíûõ îáúåäèíåíèé è ïåðåñå÷åíèé ìíîæåñòâ:
                              [          \
                  ∀(Ai ∈ A) :   Ai ∈ A ,   Ai ∈ A.
                                                i

   Ïîñêîëüêó σ -àëãåáðà åñòü àëãåáðà ìíîæåñòâ, òî áûëî áû äîñòàòî÷-
íî ïîòðåáîâàòü çàìíóòîñòè òîëüêî îòíîñèòåëüíî ñ÷åòíûõ îáúåäèíåíèé
ìíîæåñòâ: â ñèëó ôîðìóë äå Ìîðãàíà îòñþäà óæå ñëåäîâàëî áû, ÷òî σ -
àëãåáðà çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî îáðàçîâàíèÿ ñ÷åòíûõ ïåðåñå÷åíèé ìíî-
æåñòâ è èõ äîïîëíåíèé.

                                       46

Страницы