Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

φ
j
(x) = f
n(j)
(x),
f(x)
f(x) ∈ L(X) , |f(x)|
p
∈ L(X).
φ
j
(x) = |f
n(j)
(x) −f
m
(x)|
p
,
I(|f − f
m
|
p
) = I( lim
j→∞
|f
n(j)
− f
m
|
p
) ≤ , m > N().
f(x) ≡ 1 L(D) L
p
f L
p
(D)
L
p
(D)
D
f(x) L
p
(D)
∀m: f(x)I(D
\
K(m) | x) ∈ L
p
(K(m))
lim
m→∞
I
m
((|f|I(D
\
K(m) | ·))
p
) < ∞,
kf | L
p
(X)k
p
:= lim
m→∞
I
m
((|f|I(D
\
K(m) | ·))
p
).
L
p
L
p
(K(m)) m → ∞. L
p
(D)
L
p
{f
n
}
L
p
(D
T
K(m))
{f
n(j)
}
L(D
T
K(m))
L
p
(D)
Ïðèìåíÿÿ ëåììó 1.1.15 ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè φj (x) = fn(j) (x), ìû ïîëó-
÷àåì, ÷òî îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì (1.97) ôóíêöèÿ f (x) óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèÿì:
                    f (x) ∈ L(X) , |f (x)|p ∈ L(X).
Ïðèìåíÿÿ ëåììó 1.1.15 ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè φj (x) = |fn(j) (x) − fm (x)|p ,
ìû ïîëó÷àåì, ÷òî
            I(|f − fm |p ) = I( lim |fn(j) − fm |p ) ≤  , m > N ().
                               j→∞

Òåîðåìà äîêàçàíà.
    Åñëè ôóíêöèÿ f (x) ≡ 1 íå ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L(D), òî Lp -
íîðìà ôóíêöèè f è ïðîñòðàíñòâî Lp (D) îáû÷íî îïðåäåëÿþòñÿ òàê, ÷òî â
ïðàâîé ÷àñòè (1.90) ñòîèò íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ
1.1.11.
    Îñòàíîâèìñÿ íà ýòîì ïîäðîáíåå. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1.1.11.
Òîãäà ìû îïðåäåëÿåì ïðîñòðàíñòâî Lp (D) òàê.
Îïðåäåëåíèå 1.1.14. Ìû ãîâîðèì, ÷òî çàäàííàÿ â îáëàñòè D ôóíêöèÿ
f (x) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Lp (D) , åñëè
                              \
                ∀ m : f (x)I(D K(m) | x) ∈ Lp (K(m))
è êîíå÷åí ïðåäåë
                                       \
                    lim Im ((|f |I(D       K(m) | ·))p ) < ∞,
                   m→∞
è â ýòî ñëó÷àå ìû ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàåì
                                                  \
             kf | Lp (X)kp := lim Im ((|f |I(D        K(m) | ·))p ).    (1.98)
                               m→∞

   Äëÿ îïðåäåëåííîé ðàâåíñòâîì (1.98) Lp -íîðìû ñïðàâåäëèâû íåðàâåí-
ñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî: äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ
äîñòàòî÷íî âûïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùèå íåðàâåíñòâà â êàæäîì ïðñòðàí-
ñòâå Lp (K(m)) è ïîòîì ïåðåéòè ê ïðåäåëó m → ∞. Ïðîñòðàíñòâî Lp (D)
ñ îïðåäåëåííîé ðàâåíñòâîì (1.98) Lp -íîðìîé ïîëíî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðî-
âîäèòñÿ íåáîëüøèì èçìåíåíèåì äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1.1.6: çàìå÷à-
åì, ÷òî èç òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ôóíäàìåíòàëüíà â ñìûñëå
íîðìû (1.98), ñëåäóåò, ÷òî îíà ôóíäàìåíòàëüíà ïî íîðìå êàæäîãî ïðî-
ñòðàíñòâà L (D K(m)), è ïîýòîìó ñ ïîìîùüþ äèàãîíàëüíîãî ïðîöåññà
            p
                 T
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(j) } T
                            ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òî îíà áóäåò ñõîäèòüñÿ â
êàæäîì ïðîñòðàíñòâå L(D K(m)). Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ îñòàþòñÿ
áåç èçìåíåíèÿ.
   Îñòàíîâèìñÿ íà îïåðàöèè ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà â ïðîñòàíñòâå Lp (D)
äëÿ òîãî ñëó÷àÿ, êîãäà íîðìà îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (1.98).

                                       44

Страницы