Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1 ≤ p < ∞
{f
n
(x)} ⊂ L
p
(D)
1.∃f : ∀m kf
n
− f | L
p
(D
\
K(m))k → 0,
2. lim
m→∞
sup{I(I(D
\
(K(m + s) \ K(m)))|f
n
|
p
| n , s} = 0.
f(x)
L
p
(D)
kf
n
− fk
p
→ 0 , n → ∞.
{f
n
}
L
p
(D)
L
p
(R
d
)
K(m) R
d
: K(m) = {x |
x = (x
1
, . . . , x
d
) , |x
i
| ≤ m.}.
{f
n
(x)} ⊂ L
p
(R
d
) p , 1 ≤ p < ∞,
1. ∀m : f
n
(x) → f(x), , n → ∞, x ∈ K(m),
2. ∀(m , n) : |f
n
(x)| ≤ φ
m
(x) ∈ L
p
(K(m)), φ
m
(x) n.
3. lim
m→∞
sup{
Z
|x|>m
|f
n
(x)|
p
dx | 1 ≤ n < ∞} = 0.
f(x)
L
p
(R
d
)
lim
n→∞
Z
|f
n
(x) − f(x)|
p
dx = 0.
f
n
(x) = exp(−(x − n)
2
)
L
1
(R
1
).
∀a , b :
Z
a
b
exp(−(x − n)
2
) dx → 0 , n → ∞,
Z
∞
−∞
exp(−(x − n)
2
) dx ≡
√
π
Ëåììà 1.1.18. Ïóñòü 1 ≤ p < ∞ è ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü   {fn (x)} ⊂ Lp (D)        óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
                               \
      1.∃f : ∀m kfn − f | Lp (D K(m))k → 0,                                          (1.99)
                        \
      2. lim sup{I(I(D (K(m + s) \ K(m)))|fn |p | n , s} = 0.                       (1.100)
        m→∞

Òîãäà îïðåäåëåííàÿ â ðàâåíñòâå                   (1.99) ôóíêöèÿ f (x) ïðèíàäëåæèò ïðî-
ñòðàíñòâó     Lp (D)     è
                                 kfn − f kp → 0 , n → ∞.                            (1.101)
    Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî èç óñëîâèé (1.99) è
(1.100) ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ôóíäàìåíòàëüíà â íîðìå
ïðîñòðàíñòâà Lp (D).
    Äëÿ ïðîñòðàíñòâà Lp (Rd ) ìîæíî äàòü ñëåäóþùåå óòî÷íåíèå ëåììû
1.1.18
Ëåììà 1.1.19. Ïóñòü K(m) -êóá â ïðîñòðàíñòâå R                           d
                                                                             : K(m) = {x |
x = (x1 , . . . , xd ) , |xi | ≤ m.}. Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ                   ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü {fn (x)} ⊂ Lp (Rd ) ïðè íåêîòîðîì p , 1 ≤ p < ∞,                       óäîâëåòâîðÿåò
ñëåäóþùèì óñëîâèÿì.

     1. ∀m : ï.â. fn (x) → f (x), , n → ∞ , x ∈ K(m),                               (1.102)
     2. ∀(m , n) : ï.â. |fn (x)| ≤ φm (x) ∈ Lp (K(m)), φm (x) íå             çàâèñèò îò n.
                   Z
     3. lim sup{          |fn (x)|p dx | 1 ≤ n < ∞} = 0.                            (1.103)
        m→∞         |x|>m

Òîãäà îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì                   (1.102) ôóíêöèÿ f (x) ïðèíàäëåæèò ïðî-
ñòðàíñòâó     Lp (Rd )   è
                                         Z
                             lim             |fn (x) − f (x)|p dx = 0.
                             n→∞

     ×òîáû ïîÿñíèòü ðîëü óñëîâèÿ (1.100) ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

                                     fn (x) = exp(−(x − n)2 )

â ïðîñòðàíñòâå L1 (R1 ). ßñíî, ÷òî
                       Z a
              ∀a , b :     exp(−(x − n)2 ) dx → 0 , n → ∞,
                                 b

íî                                   ∞                           √
                             Z
                                         exp(−(x − n)2 ) dx ≡     π
                              −∞


                                                    45

Страницы