Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

p , q
I(|f + g|
p
) ≤ I(|f + g|
p−1
|f|) + I(|f + g|
p−1
|g|)
≤ I(|f + g|
(p−1)q
)
1/q
I(|f|
p
)
1/p
+ I(|f + g|
(p−1)q
)
1/q
I(|g|
p
)
1/p
.
I(|f + g|
(p−1)q
)
1/q
(p − 1)q = p , 1 − 1/q = 1/p,
{f
n
(x)} ⊂ L
p
(X)
lim
n→∞
sup{k|f
n
− f
n+m
| | L
p
(X)k | 0 ≤ m < ∞} = 0,
L
p
(X) f(x)
lim
n→∞
k|f
n
− f| | L
p
(X)k = 0.
f
n(j)
(x)
f
n
(x)
f
n(j)
(x) → f(x) , j → ∞.
{f
n
(x)} ⊂ L
p
(X)
L
p
(X) L
p
(X)
L
p
(X)
I(|f
n
− f
m
|) ≤ I(1)
1/q
I(|f
n
− f
m
|
p
)
1/p
→ 0 , n m → ∞.
L
p
(X)
L(X)
{f
n
(x)} {f
n(j)
(x)}
f
n(j)
(x) → f(x) ∈ L(X) , j → ∞.
|f
n(j)
(x)|
p
→ |f(x)|
p
, I(|f
n(j)
|
p
) ≤ C.
     Äîêàçàòåëüñòâî.      Åñëè p , q -ñîïðÿæåííûå ïîêàçàòåëè, òî ñïðàâåä-
ëèâû íåðàâåíñòâà:

         I(|f + g|p ) ≤ I(|f + g|p−1 |f |) + I(|f + g|p−1 |g|)
         ≤ I(|f + g|(p−1)q )1/q I(|f |p )1/p + I(|f + g|(p−1)q )1/q I(|g|p )1/p .

Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè ïîëó÷åííîãî íåðàâåíñòâà íà I(|f + g|(p−1)q )1/q è ó÷è-
òûâàÿ, ÷òî (p − 1)q = p , 1 − 1/q = 1/p, ìû ïîëó÷èì (1.93). Òåîðåìà
äîêàçàíà.

Òåîðåìà 1.1.6. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé {f (x)}                   n       ⊂ Lp (X)
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:

              lim sup{k|fn − fn+m | | Lp (X)k | 0 ≤ m < ∞} = 0,                        (1.94)
             n→∞

òî
     1. Â ïðîñòðàíñòâå      Lp (X)   ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ                f (x),   ÷òî

                            lim k|fn − f | | Lp (X)k = 0.                              (1.95)
                           n→∞

2. Ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü                    fn(j) (x)   ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè   fn (x),   ÷òî

                          ï.â. fn(j) (x)   → f (x) , j → ∞.

    Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé {fn (x)} ⊂ Lp (X) óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ (1.94), òî ãîâîðÿò, ÷òî îíà ôóíäàìåíòàëüíà â ïðîñòðàíñòâå
Lp (X), à îïèñûâàåìîå â óòâåðæäåíèè 1 ñâîéñòâî ïðîñòðàíñòâà Lp (X)
íàçûâàåòñÿ ïîëíîòîé ïðîñòðàíñòâà Lp (X).
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà ê (1.94) è ó÷èòûâàÿ
óñëîâèå 1.1.8, ìû ïîëó÷àåì:

        I(|fn − fm |) ≤ I(1)1/q I(|fn − fm |p )1/p → 0 , n m → ∞.                      (1.96)

Òàêèì îáðàçîì, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ 1.1.8 ôóíäàìåíòàëüíàÿ â Lp (X)
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíäàìåíòàëüíà â L(X). Ñëåäîâàòåëüíî, èç ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòè {fn (x)} ìîæíî èçâëå÷ü òàêóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(j) (x)},
÷òî
                 ï.â. fn(j) (x) → f (x) ∈ L(X) , j → ∞.        (1.97)
Ó÷èòûâàÿ (1.94), ìû ïîëó÷àåì

                    ï.â. |fn(j) (x)|p → |f (x)|p , I(|fn(j) |p ) ≤ C.

                                            43

Страницы