Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

φ(t) = 2
p−1
(1 + t
p
) − (1 + t)
p
.
φ(0) > 0 , ∀t :
dφ
dt
(t) > 0.
∀(a ≥ 0 , b > 0) : φ(a/b) > 0,
φ(t) =
a
p
p
+
t
q
q
− at.
φ(0) > 0 , φ(∞) = ∞,
t = a
1/(q−1)
φ
∀t > 0 : φ(t) ≥ 0,
p > 1 , q > 1
p + q = pq.
f(x) L
p
(X)
f(x) L(X) |f(x)|
p
L(X).
L
p
(X)
f(x) , g(x) L
p
(X)
αf(x)+βg(x) L
p
(X)
φ(x) = f(x)+g(x)
L
p
(X)
L(X) |f(x) + g(x)| ∈
L(X) |f(x) + g(x)|
p
∈ L(X)
  Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâà (1.86) ðàññìîòðèì
ôóíêöèþ
                   φ(t) = 2p−1 (1 + tp ) − (1 + t)p .
Ýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
                                            dφ
                       φ(0) > 0 , ∀t :         (t) > 0.
                                            dt
Ñëåäîâàòåëüíî,
                     ∀(a ≥ 0 , b > 0) : φ(a/b) > 0,
÷òî ýêâèâàëåíòíî (1.86).
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâà (1.88) ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

                                   ap tq
                          φ(t) =     + − at.
                                   p  q
Ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ:

                         φ(0) > 0 , φ(∞) = ∞,

è ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà t = a1/(q−1) , â êîòîðîé ïðîèçâîäíàÿ
ôóíêöèè φ ðàâíà íóëþ, ïðè÷åì ñàìà ôóíêöèÿ â ýòîé òî÷êå òîæå ðàâíà
íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ∀ t > 0 : φ(t) ≥ 0, ÷òî ýêâèâàëåíòíî (1.88). Ëåììà
äîêàçàíà.
    Ïîêàçàòåëè ñòåïåíè p > 1 , q > 1, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
(1.87), íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæåííûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíè. Ñîïðÿæåííûå
ïîêàçàòåëè ñòåïåíè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ:

                              p + q = pq.

Îïðåäåëåíèå 1.1.13.   Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1.1.8 è 1.1.9, òî ìû ãî-
âîðèì, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Lp (X), åñëè ñàìà
ôóíêöèÿ f (x) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L(X) è ôóíêöèÿ |f (x)|p òàêæå
ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L(X).

Ëåììà 1.1.17. Ïðîñòðàíñòâî L (X) åñòü ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî: åñ-
                                   p

ëè ôóíêöèè  f (x) , g(x) ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó Lp (X), òî è èõ
ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ αf (x)+βg(x) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Lp (X).

   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ φ(x) = f (x)+g(x)
ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Lp (X). Ðàíåå ìû óæå äîêàçàëè, ÷òî ïðî-
ñòðàíñòâî L(X) åñòü ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, ïîýòîìó |f (x) + g(x)| ∈
L(X). Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî |f (x) + g(x)|p ∈ L(X). Ñîãëàñíî ëåììå

                                       41

Страницы