Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x 7→ |f
n(j+1)
(x) − f
n(j)
(x)|
X
1≤j<∞
|f
n(j+1)
(x) − f
n(j)
(x)| < ∞,
X
1≤j<∞
(f
n(j+1)
(x) − f
n(j)
(x)) < ∞,
X
1≤j≤m
(f
n(j+1)
(x) − f
n(j)
(x) = f
n(m+1)
(x) − f
n(1)
(x),
∃f(x) : lim
m→∞
f
n(m)
(x) = f(x).
∀m: I(|f
n(m)
|) ≤ I(|f
n(m)
− f
n(1)
|) + I(|f
n(1)
|) < 1 + I(|f
n(1)
|),
{f
n(m)
}
f(x) L(X)
φ
m
(x) = f
n(m)
(x) − f
k
(x) , k > N(),
I(|f − f
k
|) ≤ , k > N().
{f
n
(x)}
f(x) L(X)
{f
n
(x)}
f(x) {f
n
(x)}
Ôóíêöèè
                           x 7→ |fn(j+1) (x) − fn(j) (x)|
èíòåãðèðóåìû, ïîýòîìó èç ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà â ñèëó òåîðåìû Áåïïî
Ëåâè ñëåäóåò, ÷òî
                 X
           ï.â.     |fn(j+1) (x) − fn(j) (x)| < ∞,
                   1≤j<∞


è ïîýòîìó
                    X
            ï.â.         (fn(j+1) (x) − fn(j) (x)) < ∞,
                   1≤j<∞


Íî
              X
                    (fn(j+1) (x) − fn(j) (x) = fn(m+1) (x) − fn(1) (x),
            1≤j≤m

ïîýòîìó
                       ï.â ∃f (x) : lim fn(m) (x) = f (x).                       (1.85)
                                    m→∞

Òàê êàê

      ∀ m : I(|fn(m) |) ≤ I(|fn(m) − fn(1) |) + I(|fn(1) |) < 1 + I(|fn(1) |),

òî ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn(m) } ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ëåììó 1.1.15 è íà
îñíîâå ýòîé ëåììû ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì
(1.85) ôóíêöèÿ f (x) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L(X). Ïðèìåíÿÿ ëåììó
1.1.15 ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

                    φm (x) = fn(m) (x) − fk (x) , k > N (),

ìû ïîëó÷èì, ÷òî
                           I(|f − fk |) ≤  , k > N ().
Òåîðåìà äîêàçàíà.
    Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (1.84) òî
ãîâîðÿò, ÷òî îíà ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (x) â ïðîñòðàíñòâå L(X). Èç òåî-
ðåìû Ðèññà-Ôèøåðà ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{fn (x)} ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êîòîðàÿ áóäåò ñõîäèòñÿ
ê ôóíêöèè f (x) ïî÷òè âñþäó. Îäíàêî ñàìà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}
ïðè ýòîì ìîæåò íå ñõîäèòñÿ íè â îäíîé òî÷êå. Ïðèâåäåì ñîîòâåòñòâóþ-
ùèé êëàññè÷åñêèé ïðèìåð.

                                        39

Страницы