Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

φ(x)
|φ(x)| ≤ φ
0
(x) , φ
0
(x) ∈ L(X),
φ(x)
φ(x) ∈ L(X)
|I(φ)| ≤ I(φ
0
).
ψ
n
(x) = max(min(φ
n
(x) , φ
0
(x)) , −φ
0
(x)).
: |ψ
n
(x)| ≤ φ
0
(x) , lim
n→∞
ψ
n
(x) = φ(x).
φ(x) ∈ L(X) lim
n→∞
I(ψ
n
) = I(φ).
|I(ψ
n
)| ≤ I(φ
0
),
|I(φ)| ≤ I(φ
0
).
{φ
n
(x)}
φ
n
(x) ≥ 0 , lim
n→∞
φ
n
(x) = φ(x) , I(φ
n
) ≤ C,
C n
φ(x)
I(φ) ≤ C.
ψ
n
(x) = inf{φ
k
(x) | k ≤ n < ∞}.
: ψ
n
(x) % φ(x) , I(ψ
n
) ≤ C.
φ(x) ∈ L(X) , I(φ) ≤ C.
è ìîäóëü ôóíêöèè       φ(x)   îãðàíè÷åí ñâåðõó èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèåé:

                       ï.â.   |φ(x)| ≤ φ0 (x) , φ0 (x) ∈ L(X),
òî ôóíêöèÿ    φ(x)    èíòåãðèðóåìà:

                                     φ(x) ∈ L(X)
è ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

                                    |I(φ)| ≤ I(φ0 ).
      Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ
                 ψn (x) = max(min(φn (x) , φ0 (x)) , −φ0 (x)).
ßñíî, ÷òî
                 ï.â. : |ψn (x)| ≤ φ0 (x) , lim ψn (x) = φ(x).
                                               n→∞
Ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû Ëåáåãà
                        φ(x) ∈ L(X) è lim I(ψn ) = I(φ).
                                          n→∞

Íî
                                   |I(ψn )| ≤ I(φ0 ),
ïîýòîìó
                                    |I(φ)| ≤ I(φ0 ).                   (1.80)
Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Ëåììà 1.1.14. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé {φ (x)}       n
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:

               ï.â.   φn (x) ≥ 0 , lim φn (x) = φ(x) , I(φn ) ≤ C,     (1.81)
                                    n→∞

ãäå C íå çàâèñèò îò n, òî îïðåäåëåííàÿ â ðàâåíñòâå (1.81)            ôóíêöèÿ
φ(x) èíòåãðèðóåìà è âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî:
                                      I(φ) ≤ C.
      Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
                        ψn (x) = inf{φk (x) | k ≤ n < ∞}.
Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
                        ï.â. : ψn (x) % φ(x) , I(ψn ) ≤ C.
Ïîýòîìó â ñèëó ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû Áåïïî Ëåâè
                              φ(x) ∈ L(X) , I(φ) ≤ C.
Ëåììà äîêàçàíà.

                                          37

Страницы