Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{φ
n
(x)}
lim
n→∞
φ
n
(x) = φ(x) , ∀n : I(|φ
n
|) ≤ C,
φ(x)
|I(φ)| ≤ C.
lim
n→∞
|φ
n
(x)| = |φ(x)|.
|φ(x)| ∈ L(X)
L(X)
f
n
(x)
lim
n→∞
sup{I(|f
n
− f
n+m
|) | 0 ≤ m < ∞} = 0,
L(X) f(x)
lim
n→∞
I(|f
n
− f|) = 0.
{f
n(j)
(x)}
{f
n
(x)}
f
n(j)
(x) → f(x) , j → ∞.
L(X) L(X)
f
n(j)
(x) f
n
(x)
∀(m > n(j)) : I(|f
n(j)
− f
m
|) < 2
−j
.
X
1≤j<∞
I(|f
n(j+1)
− f
n(j)
|) < ∞,
Ëåììà 1.1.15. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé {φ (x)}                n
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:

                    ï.â.   lim φn (x) = φ(x) , ∀n : I(|φn |) ≤ C,             (1.82)
                           n→∞

òî îïðåäåëåííàÿ â ðàâåíñòâå            (1.82) ôóíêöèÿ φ(x) èíòåãðèðóåìà è âû-
ïîëíåíî íåðàâåíñòâî:
                                       |I(φ)| ≤ C.
     Äîêàçàòåëüñòâî.       Î÷åâèäíî, ÷òî

                             ï.â. lim |φn (x)| = |φ(x)|.
                                   n→∞

Ïîýòîìó â ñèëó ëåììû 1.1.14 |φ(x)| ∈ L(X). Òåïåðü äîñòàòî÷íî âîñïîëü-
çîâàòüñÿ ëåììîé 1.1.13.
   Òåïåðü ìû ãîòîâû ê äîêàçàòåëüñòâó îäíîãî èç îñíîâíûõ äëÿ íàñ ôàê-
òîâ òåîðèè èíòåãðàëà Ëåáåãà: òåîðåìû Ðèññà-Ôèøåðà î ïîëíîòå ïðî-
ñòðàíñòâà L(X).
Òåîðåìà 1.1.3. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé f (x)                 n
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:

                    lim sup{I(|fn − fn+m |) | 0 ≤ m < ∞} = 0,                 (1.83)
                    n→∞

òî
     1. Â ïðîñòðàíñòâå      L(X)   ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ         f (x),   ÷òî

                                 lim I(|fn − f |) = 0.                        (1.84)
                                 n→∞

2. Ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü                {fn(j) (x)} ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè   {fn (x)},   ÷òî

                           ï.â. fn(j) (x)   → f (x) , j → ∞.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Íàïîìíèì, ÷òî ïðî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êîòîðàÿ óäî-
âëåòâîðÿåò óñëîâèþ (1.83), ãîâîðÿò, ÷òî îíà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Êîøè
â ìåòðèêå L(X) èëè ôóäàìåíòàëüíà â ìåòðèêå L(X).
   Èç óñëîâèÿ (1.83) ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü fn(j) (x) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn (x), êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:

                       ∀(m > n(j)) : I(|fn(j) − fm |) < 2−j .
Äëÿ òàêîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõîäèòñÿ ðÿä
                     X
                         I(|fn(j+1) − fn(j) |) < ∞,
                           1≤j<∞


                                             38

Страницы