Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

[0 , 1]
f
n,k
(x) =
(
1 , x ∈
k
n
,
k+1
n
, 0 ≤ k < n ,
0, x 6∈
k
n
,
k+1
n
.
f
n,k
{n, k} >
{n
0
, k
0
} n > n
0
n = n
0
k > k
0
Z
1
0
f
n,k
(x) dx = 1/n → 0 , n → ∞,
{n, k} → ∞ f
n,k
(x)
x ∈ [0 , 1]
L
p
(X)
L
0
(X)
φ ∈ L
0
(X)
∀p > 1 : |φ|
p
∈ L
0
(X) ⊂ L(X).
f(x) ∈ L(X) |f(x)|
p
6∈
L(X) p > 1 f(x) = x
−1/p
, 0 <
x ≤ 1
[0 , 1]
|f(x)|
p
[0 , 1]
p > 1 a ≥ 0 , b ≥ 0
(a + b)
p
≤ 2
p−1
(a
p
+ b
p
).
p > 1 , q > 1
1
p
+
1
q
= 1,
a ≥ 0 , b ≥ 0
ab ≤
a
p
p
+
b
q
q
.
Ïðèìåð   1.1.14. Íà îòðåçêå [0 , 1] îïðåäåëèì ôóíêöèè
                           (
                            1 , x ∈ nk , k+1
                                            
                                          n
                                               , 0 ≤ k < n,
                fn,k (x) =          k k+1 
                            0, x 6∈ n , n .

     Óïîðÿäî÷èì èíäåêñû ôóíêöèèé fn,k : Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî {n, k} >
{n0 , k 0 }, åñëè n > n0 , à ïðè n = n0 åñëè k > k 0 . ßñíî, ÷òî
                          Z 1
                              fn,k (x) dx = 1/n → 0 , n → ∞ ,
                      0

íî ïðåäåëà ïðè {n, k} → ∞ ó ôóíêöèé fn,k (x) íå ñóùåñòâóåò íè â îäíîé
òî÷êå x ∈ [0 , 1].

1.1.5    Ïðîñòðàíñòâà           Lp (X).
 ýòîé ÷àñòè ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ôóíê-
öèé L0 (X), ïî êîòîðîìó ìû ñòðîèì èíòåãðàë, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
1.1.8 è 1.1.9.
    Â ñèëó ïðèíÿòîãî íàìè óñëîâèÿ 1.1.9 äëÿ ëþáîé îñíîâíîé ôóíêöèè
φ ∈ L0 (X) âûïîëíåíî âêëþ÷åíèå
                      ∀p > 1 : |φ|p ∈ L0 (X) ⊂ L(X).
Íî, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî f (x) ∈ L(X), íî |f (x)|p 6∈
L(X) ïðè p > 1. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü ôóíêöèÿ f (x) = x−1/p , 0 <
x ≤ 1. Òàê êàê ýòà ôóíêöèÿ íåîòðèöàòåëüíà è èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó
â íåñîáñòâåííîì ñìûñëå íà îòðåçêå [0 , 1], òî îíà èíòåãðèðóåìà ïî Ëå-
áåãó, îäíàêî î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ |f (x)|p íå èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó
íà îòðåçêå [0 , 1]. Ìû ïîñâÿòèì ýòó ÷àñòü èçó÷åíèþ ôóíêöèé, êîòîðûå
îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî îíè ñàìè è íåêîòîðàÿ ñòåïåíü èõ ìîäóëÿ
èíòåãðèðóåìû.
Ëåììà 1.1.16. 1. Ïðè ëþáîì p > 1 äëÿ a ≥ 0 ,             b ≥ 0   ñïðàâåäëèâî
íåðàâåíñòâî
                          (a + b)p ≤ 2p−1 (ap + bp ).                 (1.86)
2. Ïðè ëþáûõ   p > 1 , q > 1,   òàêèõ, ÷òî

                                  1 1
                                   + = 1,                             (1.87)
                                  p q
äëÿ   a≥0, b≥0    ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

                                        ap b q
                                 ab ≤     + .                         (1.88)
                                        p  q

                                        40

Страницы