Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

I(g
n
) ≤ I(φ
n
) ≤ I(f
n
).
a
n
=
Z
1
0
f
n
(x) dx , f
n
(x) = (cos(1/x))
2n
, x > 0 , f
n
(x) = 0 , x = 0.
lim
n→∞
f
n
(x) = 0 , x 6=
1
πm
, m = 1 . . . , f
n
(
1
πm
) = 1.
|f
n
(x)| ≤ 1, {x
m
| x
m
=
1
πm
, m = 1, . . .}
a
n
→ 0 , n → ∞
I(|φ
n
− φ|) → 0 , n → ∞.
|φ
n
(x) − φ(x)| → 0 , n → ∞ , ∀n : |φ
n
(x) − φ(x)| ≤ 2φ
0
(x),
{φ
n
(x)}
φ(x)
lim
n→∞
φ
n
(x) = φ(x),
Íî î÷åâèäíî, ÷òî
                                 I(gn ) ≤ I(φn ) ≤ I(fn ).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ïóñòü
         Z   1
  an =           fn (x) dx , ãäå fn (x) = (cos(1/x))2n , x > 0 , fn (x) = 0 , x = 0.
         0

ßñíî, ÷òî

                                          1                       1
                 lim fn (x) = 0 , x 6=      , m = 1 . . . , fn (    ) = 1.
                 n→∞                     πm                      πm
Òàê êàê |fn (x)| ≤ 1, à ìíîæåñòâî òî÷åê {xm | xm = πm
                                                    1
                                                      , m = 1, . . .} åñòü
ìíîæåñòâî ìåðû íîëü, òî ìû ìîæåì óòâåðæäàòü ÷òî an → 0 , n → ∞.
   Èíîãäà ïîëåçíî ñëåäóþùåå óòî÷íåíèå òåîðåìû 1.1.2.

Ñëåäñòâèå 1.1.5. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 1.1.2, òî
                               I(|φn − φ|) → 0 , n → ∞.                         (1.79)

   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî

     ï.â. |φn (x) − φ(x)| → 0 , n → ∞ , ∀n : |φn (x) − φ(x)| ≤ 2φ0 (x),

è ïðèìåíèòü äîêàçàííóþ òåîðåìó.
   Äîêàçàííÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå èíòåãðàëà Ëå-
áåãà îò èíòåãðàëà Ðèìàíà: èíòåãðàë Ëåáåãà ïðè î÷åíü îáùèõ ïðåäïî-
ëîæåíèÿõ "âûäåðæèâàåò"ïîòî÷å÷íûé ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïîä çíàêîì
èíòåãðàëà.
   Ôèêñèðóåì âíèìàíèå ÷èòàòåëÿ íà ñëåäóþùåì îáñòîÿòåëüñòâå: òåîðå-
ìà Ëåáåãà 1.1.2 äîêàçàíà íàìè äëÿ èíòåãðàëà, ïîíèìàåìîãî â ñìûñëå
îïðåäåëåíèÿ 1.1.8. Åñëè æå èíòåãðàë ïîíèìàåòñÿ êàê íåñîáñòâåííûé â
ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.1.11, òî íåîáõîäèìî åùå ðàññìîòðåòü âîçìîæíîñòü
ïåðåñòàíîâêè îïåðàöèé ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà â 1.63
   Ñëåäóþùèå òðè ëåììû ÿâëÿþòñÿ âàðèàöèÿìè íà òåìó òåîðåìû Ëåáå-
ãà è ÷àñòî èñïîëçóþòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ.

Ëåììà 1.1.13. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé {φ (x)}                    n
ïî÷òè âñþäó ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè               φ(x):

                                ï.â.   lim φn (x) = φ(x),
                                       n→∞


                                             36

Страницы