Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

φ
n
= f
n−1
− f
n
, f
0
= 0 ,
φ
n
= f
n
− f
n−1
, f
0
= 0 ,
L(X)
f(x)
f(x)
X
n
nf(x).
I(A | x) =
(
1 , x ∈ A
0 , x 6∈ A
A ⊂ X
I(A | x) ∈ L(X)
I(I(A | ·)) = 0,
A
φ
n
∈
L(X)
∃ φ(x) : φ(x) = lim
n→∞
φ
n
(x) ,
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ äîñòîòî÷íî ðàññìîòðåòü ëèáî
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
                       φn = fn−1 − fn , f0 = 0 ,
ëèáî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

                              φn = fn − fn−1 , f0 = 0 ,

è ïðèìåíèòü äîêàçàííóþ òåîðåìó.

Ñëåäñòâèå 1.1.3. Åñëè ïðèíàäëåæàùàÿ ïðîñòðàíñòâó L(X) ôóíêöèÿ
f (x)   ïî÷òè âñþäó íåîòðèöàòåëüíà è èíòåãðàë îò íåå ðàâåí íóëþ, òî
ôóíêöèÿ     f (x)   ïî÷òè âñþäó ðàâíà íóëþ.

   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äàííîãî óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü òåî-
ðåìó Áåïïî-Ëåâè ê ðÿäó       X
                                 nf (x).
                                         n

 ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâî

Ñëåäñòâèå 1.1.4. Åñëè õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ
                                         (
                                          1, x∈A
                              I(A | x) =
                                          0, x∈
                                              6 A

ìíîæåñòâà       A⊂X       èíòåãðèðóåìà:

                                     I(A | x) ∈ L(X)

è èíòåãðàë îò íåå ðàâåí íóëþ:

                                      I(I(A | ·)) = 0,

òî ìíîæåñòâî          A   åñòü ìíîæåñòâî ìåðû íîëü â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ
1.1.1.

   Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Ëåáåãà î ïðåäåëüíîì ïåðå-
õîäå â èíòåãðàëå è ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ.

Òåîðåìà 1.1.2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé φ       n   ∈
L(X)     ïî÷òè âñþäó èìååò ïðåäåë:

                           ï.â.   ∃ φ(x) : φ(x) = lim φn (x) ,    (1.72)
                                                   n→∞


                                             34

Страницы