Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

S
n
(f) =
X
1≤k≤n
f
n
, S
n
(g) =
X
1≤k≤n
g
k
L
+
(X)
n → ∞
L
+
(X)
∃S(f)(x) : lim
n→∞
S
n
(f)(x) = S(f)(x) , S(f) ∈ L
+
(X),
∃S(g)(x) : lim
n→∞
S
n
(g)(x) = S(g)(x) , S(g) ∈ L
+
(X),
I
+
(S(f)) = lim
n→∞
I
+
(S
n
(f)) , I
+
(S(g)) = lim
n→∞
I
+
(S
n
(g)).
φ(x) := lim
n→∞
(S
n
(f)(x) − S
n
(g)(x))
I(φ) = lim
n→∞
(I
+
(S
n
(f)) − I
+
(S
n
(g))) = lim
n→∞
X
1≤k≤n
I(φ
k
).
L(X)
{f
n
(x)}
f
n
∈ L(X) , |I(f
n
)| < C,
C n
f
n
(x) % f(x) , f
n
(x) & f(x),
f(x)
L(X)
f ∈ L
+
(X) I(f) = lim
n→∞
I(f
n
).
Ìû âèäèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòíûõ ñóìì
                                    X                      X
                       Sn (f ) =           fn , Sn (g) =           gk
                                   1≤k≤n                   1≤k≤n


óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ëåììû 1.1.8: ýòî ìîíîòîííî íåóáûâàþùèå ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâà L+ (X) ñ îãðàíè÷åííûìè â
ñîâîêóïíîñòè èíòåãðàëàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ëåììû 1.1.8 ïî÷òè
âñþäó ïðè n → ∞ ýòè ñóììû èìåþò ïðåäåëû, ýòè ïðåäåëû ïðèíàäëåæàò
ïðîñòðàíñòâó L+ (X):

             ï.â. ∃S(f )(x) : lim Sn (f )(x) = S(f )(x) , S(f ) ∈ L+ (X),
                                 n→∞
             ï.â. ∃S(g)(x) : lim Sn (g)(x) = S(g)(x) , S(g) ∈ L+ (X),
                                 n→∞

è ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:

             I+ (S(f )) = lim I+ (Sn (f )) , I+ (S(g)) = lim I+ (Sn (g)).
                          n→∞                                n→∞

Ïîýòîìó ïî÷òè âñþäó ñóùåñòâóåò ïðåäåë

             φ(x) := lim (Sn (f )(x) − Sn (g)(x))
                     n→∞

è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                                                    X
             I(φ) = lim (I+ (Sn (f )) − I+ (Sn (g))) = lim                 I(φk ).
                    n→∞                                     n→∞
                                                                   1≤k≤n


Òåîðåìà äîêàçàíà.

Ñëåäñòâèå 1.1.2. Åñëè ïðèíàäëåæàùàÿ ïðîñòðàíñòâó L(X) ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòü ôóíêöèé          {fn (x)}   èìååò ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííûå èíòå-
ãðàëû:
                                fn ∈ L(X) , |I(fn )| < C,
ãäå   C   íå çàâèñèò îò    n,   è ïî÷òè âñþäó

                     ëèáî fn (x)   % f (x) ,   ëèáî fn (x)   & f (x),                (1.71)

òî îïðåäåëåííàÿ â        (1.71) ôóíêöèÿ f (x) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó
L(X):
                          f ∈ L+ (X) è I(f ) = lim I(fn ).
                                                   n→∞


                                             33

Страницы