Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

D
f(x) D
lim
m→∞
I
m
(|f|I(D
\
K(m) | ·)) < ∞,
Z
D
f(x)ν(dx) := lim
m→∞
I
m
(fI(D
\
K(m) | ·)).
D R
d
K(m) , m = 1 . . .
[
m
K(m) = R
d
, K(m) ⊂ K(m + 1).
D ⊂ R
d
f(x) D
m I(D
T
K(m) | x)
K(m)
f(x)I(D
T
K(m) | x)
K(m)
lim
m→∞
Z
K(m)
|f(x)|I(D
\
K(m) | x) dx < ∞.
Z
D
f(x) dx := lim
m→∞
Z
K(m)
f(x)I(D
\
K(m) | x) dx.
Îïðåäåëåíèå 1.1.11. Ìû ãîâîðèì, ÷òî çàäàííàÿ â îáëàñòè D ôóíêöèÿ
f (x) èíòåãðèðóåìà â îáëàñòè D â íåñîáñòâåííîì ñìûñëå, åñëè êîíå÷åí
ïðåäåë                             \
                    lim Im (|f |I(D K(m) | ·)) < ∞,
                    m→∞
è â ýòî ñëó÷àå ìû ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàåì
               Z                            \
                 f (x)ν(dx) := lim Im (f I(D K(m) | ·)).       (1.63)
                D                m→∞

    ñëó÷àå íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè D â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Rd è
êëàññè÷åñêîãî èíòåãðàëà Ëåáåãà ýòî îïðåäåëåíèå êîíêðåòèçèðóåòñÿ òàê.
   Ïóñòü K(m) , m = 1 . . . -ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïàðàëëåëèïèïåäîâ, êî-
òîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:
                  [
                    K(m) = Rd , K(m) ⊂ K(m + 1).               (1.64)
                    m

Îïðåäåëåíèå 1.1.12. Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî çàäàííàÿ â íåîãðàíè÷åí-
íîé îáëàñòè D ⊂ Rd ôóíêöèÿ f (x)Tèíòåãðèðóåìà ïî îáëàñòè D, åñëè
   1. Ïðè ëþáîì m ôóíêöèÿ I(D K(m) | x) èíòåãðèðóåìà â ïàðàëëå-
ëèïèïåäå K(m).
   2. Ôóíêöèÿ f (x)I(D K(m) | x) èíòåãðèðóåìà â ïàðàëëåëèïèïåäå
                      T
K(m).
   3. Êîíå÷åí ïðåäåë:
                   Z              \
               lim      |f (x)|I(D K(m) | x) dx < ∞.          (1.65)
                m→∞     K(m)

 ýòîì ñëó÷àå ìû ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàåì
           Z                  Z          \
              f (x) dx := lim    f (x)I(D K(m) | x) dx.        (1.66)
            D              m→∞   K(m)

    Â äàëüíåéøåì èíòåãðàë â ñìûñëå îïðåäåëåíèé 1.1.11-1.1.12 ìû òàê-
æå áóäåì íàçûâàòü èíòåãðàëîì èëè èíòåãðàëîì Ëåáåãà, åñëè óòî÷åíèå
íåîáõîäèìî è íå áóäåì ñïåöèàëüíî ôèêñèðîâàòü âíèìàíèå íà òîì, ÷òî
èíòåãðàë ïîíèìàåòñÿ êàê íåñîáñòâåííûé.
    Èç ëåììû 1.1.12 ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðàë â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.1.9
åñòü ïðåäåë èíòåãðàëîâ Ðèìàíà îò íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, ïîýòîìó íà
èíòåãðàë â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.1.9 ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè ïðåäåëüíîãî
ïåðåõîäà ëåãêî ïåðåíîñÿòñÿ îáû÷íûå ïðàâèëà äåéñòâèÿ ñ èíòåãðàëàìè
( çàìåíà ïåðåìåííûõ, èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì, àääèòèâíîñòü îòíîñè-
òåëüíî îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ è ò.ä.) Îäíàêî ñàìà îïåðàöèÿ ïðåäåëü-
íîãî ïåðåõîäà â èíòåãðàëå Ëåáåãà îòëè÷àåòñÿ îò îïåðàöèè ïðåäåëüíîãî
ïåðåõîäà â èíòåãðàëå Ðèìàíà è áóäåò èçó÷åíà íàìè íèæå.

                                    31

Страницы