Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

X K ⊂
R
d
K := {x|x = (x
1
, . . . , x
d
) ∈ R
d
, a
i
≤ x
i
≤ b
i
, a
i
< b
i
},
[a , b] d = 1
L
0
(K)
K : L
0
(K) = C(K) I
0
L
0
(K)
I
0
(f) =
Z
K
f(x) dx.
I
f(x) L(K)
K
f
∀(f ∈ L(K)) :
Z
K
f(x) dx := I(f).
Z ⊂ K
Z
R
d
K ⊂ R
d
f(x)
K L(K)
L(K)
Óòâåðæäåíèå 1.1.7. Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî X åñòü ïàðàëëåëèïèïåä K ⊂
Rd :
            K := {x|x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd , ai ≤ xi ≤ bi , ai < bi },
(è îòåçîê [a , b] â ñëó÷àå d = 1). Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ
ôóíêöèé L0 (K) åñòü ïðîñòðàíñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, çàäàí-
íûõ íà K : L0 (K) = C(K), à ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë I0 íà L0 (K) åñòü
èíòåãðàë Ðèìàíà:                     Z
                           I0 (f ) =   f (x) dx.
                                           K
Òîãäà ïîñòðîåííûé ïî ñõåìå Äàíèýëÿ èíòåãðàë               I   ñîâïàäàåò ñ êëàññè÷å-
ñêèì èíòåãðàëîì Ëåáåãà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî:
       1. Ôóíêöèÿ   f (x)   ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó        L(K)   â òîì è òîëüêî
òîì ñëó÷àå, åñëè îíà èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó              íà K .
       2. Èíòåãàë Äàíèýëÿ ôóíêöèè      f ðàâåí åå èíòåãðàëó        Ëåáåãà:
                                       Z
                        ∀ (f ∈ L(K)) :    f (x) dx := I(f ).                  (1.56)
                                          K

 ëåâîé ÷àñòè       (1.56) ñòîèò èíòåãðàë Ëåáåãà, â ïðàâîé ÷àñòè -èíòåãðàë
Äàíèýëÿ.
       3. Ìíîæåñòâî   Z ⊂ K åñòü ìíîæåñòâî ìåðû íîëü â ñìûñëå îïðåäå-
ëåíèÿ    (1.1.1) â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè ìåðà Ëåáåãà ìíîæåñòâà
Z   ðàâíà íóëþ.

   Òàê êàê ìû íå ââîäèëè èíòåãðàë Ëåáåãà, òî ìû ñåé÷àñ íå áóäåì äîêà-
çûâàòü ýòî óòâåðæäåíèå, íî îáñóäèì åãî ïîçæå ïîñëå ââåäåíèÿ ïîíÿòèÿ
ìåðû ìíîæåñòâà. Ñåé÷àñ ýòî óòâåðæäåíèå ìîæíî ïðèíÿòü çà îïðåäåëå-
íèå èíòåãðàëà Ëåáåãà â Rd .
   Ðàâåíñòâî (1.56) ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê îïðåäåëåíèå ñòîÿùåãî
â ëåâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ñèìâîëà.
   Óòâåðæäåíèå 1.1.7 äàåò íàì îñíîâàíèå äàòü
Îïðåäåëåíèå 1.1.9. Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îïðåäåëåííàÿ â ïàðàëëå-
ëèïèïåäå K ⊂ Rd ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó â ïàðàëëåëèïè-
ïåäå K , åñëè îíà ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L(K) èíòåãðèðóåìûõ ïî Äà-
íèýëþ ôóíêöèé, ïðè÷åì ïðè ïîñòðîåíèè ïðîñòðàíñòâà L(K) â êà÷åñòâå
ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé âçÿòî ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ â ïàðàëëåëè-
ïèïåäå ôóíêöèé è â êà÷åñòâå ýëåìåíòàðíîãî èíòåãðàëà âçÿò èíòåãðàë
Ðèìàíà.
   Çàìåòèì, ÷òî ÷àñòî ïîä èíòåãðàëîì Ëåáåãà ïîíèìàþò èíòåãðàë, ïî-
ñòðîåíííûé ïî ïðåäëîæåííîé Ëåáåãîì ñõåìå, íî ñ ïðîèçâîëüíîé ìåðîé.
Òàêîé èíòåãðàë òàêæå íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ëåáåãà-Ñòèëüòåñà.
   Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäóþùèõ îïðåäåëåíèé.

                                          29

Страницы