Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

I
0
(f) =
Z
1
0
f(x) dx =
1
4
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
),
L(X) L
0
(X)
L
0
(X)
[0 , 1)
L(X)
I(f) ≡
Z
X
f dµ ≡
Z
X
f(x) dµ(x) ≡
Z
X
f(x) µ(dx).
I(f)
L(X)
I : L(X) 7→ R
1
; ∀(α ∈ R
1
, β ∈ R
1
, f ∈ L(X) , g ∈ L(X)) :
I(αf + βg) = αI(f ) + βI(g)
(f(x) ≥ 0) ⇒ (I(f) ≥ 0).
f(x) ≥ 0
φ(x) ≥ g(x),
I
+
I
+
(φ) ≥
I
+
(g).
  Åñëè íà ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèé âèäà (1.53) ìû îïðåäåëèì ýëåìåíòàð-
íûé èíòåãðàë êàê èíòåãðàë Ðèìàíà:
                           Z   1
                                             1
               I0 (f ) =           f (x) dx = (a1 + a2 + a3 + a4 ),
                           0                 4

òî ìíîæåñòâîì ìåðû íîëü áóäåò òîëüêî ïóñòîå ìíîæåñòâî è ïðîñòðàí-
ñòâî L(X) áóäåò ñîâïàäàòü ñ ïðîñòðàíñòâîì L0 (X), à íèêàêèå äðóãèå
ôóíêöèè, êðîìå ôóíêöèé èç L0 (X), íå áóäóò èíòåãðèðóåìû.
   Åñëè ìû îïðåäåëèì ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé êàê ìíîæå-
ñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé
âñåõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîëóèíòåðâàëîâ ìíîæåñòâà [0 , 1) à ýëåìåíòàð-
íûé èíòåãðàë îïðåäåëèì êàê èíòåãðàë Ðèìàíà, òî ïðîñòðàíñòâî L(X)
áóäåò ñîâïàäàòü ñ ïðîñòðàíñòâîì èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé (ìû
ïîäðîáíî îáñóäèì ýòîò ñëó÷àé ïîçæå â ðàçäåëå, ïîñâÿùåííîì ïîíÿòèþ
ìåðû).
   Ïîñëå òîãî, êàê ìû ââåäåì ïîíÿòèå ìåðû è îáñóäèì ñâÿçü ìåæäó
èíòåãðàëîì Äàíèýëÿ è êëàññè÷åñêèì ïîíÿòèåì èíòåãðàëà Ëåáåãà, íàðÿäó
ñ îáîçíà÷åíèåì (1.52) ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå îáùåïðèíÿòûå
îáîçíà÷åíèÿ äëÿ èíòåãðàëà
                    Z         Z               Z
            I(f ) ≡    f dµ ≡   f (x) dµ(x) ≡   f (x) µ(dx).  (1.54)
                     X                 X                X

   Î÷åâèäíà

Ëåììà 1.1.11. Èíòåãðàë Äàíèýëÿ I(f ) åñòü ëèíåéíûé íåîòðèöàòåëü-
íûé ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé                  L(X):

      I : L(X) 7→ R1 ; ∀(α ∈ R1 , β ∈ R1 , f ∈ L(X) , g ∈ L(X)) :
      I(αf + βg) = αI(f ) + βI(g)
      (f (x) ≥ 0) ⇒ (I(f ) ≥ 0).

   Äîêàçàòåëüñòâî.  Ëèíåéíîñòü î÷åâèäíà, à äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåîò-
ðèöàòåëüíîñòè èíòåãðàëà çàìåòèì, ÷òî åñëè ïî÷òè âñþäó f (x) ≥ 0, òî â
ðàâåíñòâå (1.48) :
                            φ(x) ≥ g(x),
è â ñèëó íåîòðèöàòåëüíîñòè èíòåãðàëà I+ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî I+ (φ) ≥
I+ (g).
    ßñíî, ÷òî íà ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé èíòåãðàë Äàíèýëÿ
ñîâïàäàåò ñ ýëåìåíòàðíûì èíòåãðàëîì. Áîëüøå òîãî, ñïðàâåäëèâà

                                           27

Страницы