Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀h ∈ L
0
(X) : f(x) = (φ(x) + h(x)) − (g(x) + h(x)),
(φ + h) , (g + h) ∈ L
+
(X),
f(x) L(X)
> 0
L
+
(X)
f(x) = φ
(x) − g
(x) , g
(x) ≥ 0 , I
+
(g
(x)) < .
g ∈ L
+
(X)
{g
n
} ⊂ L
0
(X)
g
n
(x) % g(x) , n → ∞ I
0
(g
n
) % I
+
(g) , n → ∞
f(x) = φ(x) − g(x) = φ(x) − g
n
(x) − (g(x) − g
n
(x)).
n
L
+
(X) ⊂ L(X). f ∈
L(X) , (−f) ∈ L(X),
L(X)
f(x) L(X)
|f(x)| L(X).
f(x) ∈ L(X)
|f(x)| = max(φ(x) , g(x)) − min(φ(x) , g(x)) , φ , g ∈ L
+
(X),
max(φ(x) , g(x)) ∈ L
+
(X) , min(φ(x) , g(x)) ∈ L
+
(X),
|f(x)| ∈ L
+
(X)
L(X)
   Åñëè ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå (1.48), òî

            ∀ h ∈ L0 (X) : ï.â. f (x) = (φ(x) + h(x)) − (g(x) + h(x)),
            (φ + h) , (g + h) ∈ L+ (X),                                (1.49)

ïîýòîìó ïðåäñòàâëåíèå (1.48) íå åäèíñòâåííî. Â äàëüíåøåì íàì áóäåò
âàæíî, ÷òî ýòîé íåîäíîçíà÷íîñòüþ ìîæíî ðàñïîðÿäèòüñÿ ñïåöèàëüíûì
îáðàçîì.

Ëåììà 1.1.9. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L(X),
òî äëÿ ëþáîãî       > 0   ñóùåñòâóåò åå ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ðàçíîñòè
òàêèõ äâóõ ôóíêöèé èç        L+ (X),    ÷òî

        ï.â.   f (x) = φ (x) − g (x) , g (x) ≥ 0 , I+ (g (x)) < .      (1.50)

    Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1.48). Òàê êàê g ∈ L+ (X),
òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {gn } ⊂ L0 (X), ÷òî ïî÷òè âñþäó
gn (x) % g(x) , n → ∞ è I0 (gn ) % I+ (g) , n → ∞. Çàïèøèì ðàâåñòâî

      ï.â. f (x) = φ(x) − g(x) = φ(x) − gn (x) − (g(x) − gn (x)).           (1.51)

Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì n ýòî ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì.
  ßñíî, ÷òî L+ (X) ⊂ L(X). Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè f ∈
L(X) , òî (−f ) ∈ L(X), ïîýòîìó èç ëåììû 1.1.5 ñëåäóåò

Ëåììà 1.1.10. Ïðîñòðàíñòâî L(X) -ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî îòíîñè-
òåëüíî îïåðàöèé ïîòî÷å÷íîãî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà äåéñòâèòåëü-
íûå ÷èñëà è åñëè ôóíêöèÿ        f (x)   ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó         L(X),   òî
è ôóíêöèÿ   |f (x)|   ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó           L(X).

   Äåéñòâèòåëüíî, èç (1.48) ñëåäóåò, ÷òî åñëè f (x) ∈ L(X), òî ñïðàâåä-
ëèâî ïðåäñòàâëåíèå (1.48), ïîýòîìó

       |f (x)| = max(φ(x) , g(x)) − min(φ(x) , g(x)) , φ , g ∈ L+ (X),

íî â ñèëó ëåììû 1.1.5

          max(φ(x) , g(x)) ∈ L+ (X) , min(φ(x) , g(x)) ∈ L+ (X),

ïîýòîìó |f (x)| ∈ L+ (X).
   Ââåäåì îñíîâíîå äëÿ äàëüíåéøåãî ïîíÿòèå èíòåãðàëà Äàíèýëÿ íà
ïðîñòðàíñòâå L(X).

                                          25

Страницы