Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f(x)
L(X)
I(f)
I(f) := I
+
(φ) − I
+
(g).
f(x)
f(x) = φ(x) − g(x) = φ
1
(x) − g
1
(x).
φ(x) + g
1
(x) = φ
1
(x) + g(x).
(φ(x) + g
1
(x)) ∈ L
+
(X) , (φ
1
(x) + g(x)) ∈ L
+
(X),
I
+
(φ) + I
+
(g
1
) = I
+
(φ
1
) + I
+
(g),
I
+
(φ) − I
+
(g) = I
+
(φ
1
) + I
+
(g
1
).
X L
0
(X)
I
0
X X =
[0 , 1).
A
1
= [0 , 0.25) , A
2
= [0.25 , 0.5) , A
3
= [0.5 , 0.75) , A
4
= [0.75 , 1).
f(x) =
X
1≤j≤4
a
j
I(A
j
| x) , a
j
∈ R
1
.
0 L(X)
[0 , 1)
0
Îïðåäåëåíèå 1.1.8. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó
L(X) è äëÿ íåå ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1.48), òî åå èíòåãðàëîì Äàíè-
ýëÿ I(f ) íàçûâàåòñÿ ÷èñëî

                            I(f ) := I+ (φ) − I+ (g).                     (1.52)

   Äîêàæåì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (1.52) íå çàâèñèò îò ïðåäñòàâëåíèÿ (1.48),
à îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ôóíêöèåé f (x). Ïóñòü

                  ï.â. f (x) = φ(x) − g(x) = φ1 (x) − g1 (x).

Òîãäà
                      ï.â. φ(x) + g1 (x) = φ1 (x) + g(x).
Òàê êàê
            (φ(x) + g1 (x)) ∈ L+ (X) , (φ1 (x) + g(x)) ∈ L+ (X),
òî â ñèëó ëåììû 1.1.6 îòñþäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî

                      I+ (φ) + I+ (g1 ) = I+ (φ1 ) + I+ (g),

ïîýòîìó
                      I+ (φ) − I+ (g) = I+ (φ1 ) + I+ (g1 ).
Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë Äàíèýëÿ îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì òðåõ îáúåêòîâ:
îñíîâíîãî ïðîñòðàíñòâà X , ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé L0 (X)
è ýëåìåíòàðíîãî èíòåãðàëà I0 .
     Ïðèâåäåì ïðèìåðû.
     Ïóñòü îñíîâíîå ïðîñòðàíñòâî X åñòü ïîëóîòðêðûòûé èíòåðâàë: X =
[0 , 1). Îïðåäåëèì ìíîæåñòâà

   A1 = [0 , 0.25) , A2 = [0.25 , 0.5) , A3 = [0.5 , 0.75) , A4 = [0.75 , 1).

Îïðåäåëèì ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé êàê ìíîæåñòâî ôóíê-
öèé âèäà                 X
                 f (x) =     aj I(Aj | x) , aj ∈ R1 .     (1.53)
                              1≤j≤4

Åñëè íà ýòîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ìû îïðåäåëèì ýëå-
ìåíòàðíûé èíòåãðàë êàê ôóíêöèîíàë, êîòîðûé êàæäîé ôóíêöèè ñòàâèò
â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî 0, òî ïðîñòðàíñòâî L(X) áóäåò ñîñòîÿòü èç âñåõ
ôóíêöèé, çàäàííûõ íà [0 , 1) è èíòåãðàë Äàíèýëÿ áóäåò êàæäîé ôóíê-
öèè ñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî 0.

                                       26

Страницы