Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f(x) L(X)
{f
n
(x)}
f
n
(x) → f(x) , I(|f − f
n
|) → 0 , n → ∞.
f(x) = φ(x) − g(x) , φ , g ∈ L
+
(X) .
{φ
n
} , {g
n
}
φ
n
(x) % φ(x) , g
n
(x) % g(x),
f
n
= φ
n
− g
n
.
: |f − f
n
| ≤ |(φ −φ
n
) − (g − g
n
)| ≤ (φ − φ
n
) + (g − g
n
) → 0 , n → ∞,
L
+
(X)
I(|f − f
n
|) ≤ I(φ − φ
n
) + I(g − g
n
) =
I
+
(φ − φ
n
) + I
+
(g − g
n
) → 0 , n → ∞.
Ëåììà 1.1.12. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L(X),
òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé                {fn (x)},
÷òî
               ï.â. fn (x)   → f (x) , I(|f − fn |) → 0 , n → ∞ .        (1.55)

   Äîêàçàòåëüñòâî.     Ïóñòü

                  ï.â. f (x) = φ(x) − g(x) , φ , g ∈ L+ (X) .

Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé {φn } , {gn },
÷òî
                  ï.â. φn (x) % φ(x) , gn (x) % g(x),
Ïîëîæèì
                                   fn = φn − gn .
Òîãäà

ï.â. : |f − fn | ≤ |(φ − φn ) − (g − gn )| ≤ (φ − φn ) + (g − gn ) → 0 , n → ∞,

è ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà â ïðîñòðàíñòâå L+ (X)

                   I(|f − fn |) ≤ I(φ − φn ) + I(g − gn ) =
                   I+ (φ − φn ) + I+ (g − gn ) → 0 , n → ∞.

Êîíñòðóêöèÿ îáû÷íî èñïîëüçóåìîãî â ñîâðåìåííîì àíàëèçå ïîíÿòèÿ èí-
òåãðàëà ïðèíàäëåæèò Ëåáåãó (è èìåííî äëÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà îáû÷íî
èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿ (1.54)).  ââåäåííûõ íàìè òåðìèíàõ êëàññè-
÷åñêóþ êîíñòðóêöèþ èíòåãðàëà Ëåáåãà â îáùèõ ÷åðòàõ ìîæíî îïèñàòü
òàê. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèòóàöèÿ, îïèñàííàÿ â 1.1.1 (èëè â 1.1.2) è ñíà÷àëà
èíòåãðàë ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà òàêèå ôóíêöèè, êîòîðûå ïðèíèìàþò çíà-
÷åíèÿ 0 è 1, à ïîòîì ñ ïîìîùüþ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ýòèõ ôóíêöèé
èíòåãðàë ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà òå ôóíêöèè, êîòîðûå ìîæíî ïðèáëèçèòü
òàêèìè ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè. Êîíñòðóêöèÿ Ëåáåãà äàåò áîëåå ïî-
äðîáíóþ èíôîðìàöèþ î ïðîñòðàíñòâå èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé, íî îíà
òðåáóåò è áîëüøèõ òðóäîâ íà ïðåâîíà÷àëüíîì ýòàïå èññëåäîâàíèÿ. Èíòå-
ãðàë Ëåáåãà áóäåò îáñóæäåí íàìè ïîñëå ââåäåíèÿ ïîíÿòèÿ ìåðû ìíîæå-
ñòâà.  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ èíòåãðàë Ëåáåãà è èíòåãðàë Äàíèýëÿ ñîâ-
ïàäàþò ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì ñîãëîñîâàíèè ïðè âûáîðå ýëåìåíòàðíîãî
èíòåãðàëà è ìåðû, ïîýòîìó â äàëüíåéøåì, ñëåäóÿ òðàäèöèè, â òåõ ñëó-
÷àÿõ, êîãäà èíòåãðàë Äàíèýëÿ è èíòåãðàë Ëåáåãà ñîâïàäàþò, ïîëó÷åííîå
íàìè ðàñøèðåíèå èíòåãðàëà ìû áóäåì íàçûâàòü èíòåãðàëîì Ëåáåãà.
   Ñïðàâåäëèâî

                                        28

Страницы