Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

D R
d
K
D : K ⊃ D
D f(x) D
I(D | x) K
f(x)I(D | x) K
Z
D
f(x) dx =
Z
K
f(x)I(D | x) dx.
K
f(x) ≡ 1 L(X)
K(m) , m = 1 . . .
[
m
K(m) = D , K(m) ⊂ K(m + 1).
m L(K(m))
I
m
L(K(m))
1.∀m : f(x) ∈ L(K(m))
f(x)I(K(m) | x) ∈ L(K(m + 1))
2. ∀m : I(D
\
K(m) | x) ∈ L(K(m)).
3. ∀(m , f ∈ L(K(m))) :
I
m
(f) = I
m+1
(fI(K(m) | ·)).
4.∀m: (f(x) ≡ 1) ∈ L(K(m)).
D
Îïðåäåëåíèå 1.1.10. Ïóñòü D -îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â R   è K -ïàðàëëåëèïèïåä,
                                                         d

êîòîðûé ñîäåðæèò îáëàñòü D : K ⊃ D. Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî çàäàííàÿ
â îáëàñòè D ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà ïî îáëàñòè D, åñëè
   1. Ôóíêöèÿ I(D | x) èíòåãðèðóåìà â ïàðàëëåëèïèïåäå K .
   2. Ôóíêöèÿ f (x)I(D | x) èíòåãðèðóåìà â ïàðàëëåëèïèïåäå K .
   Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ìû ïîëàãàåì ïî îïðåäåëåíèþ
                    Z             Z
                       f (x) dx =   f (x)I(D | x) dx.          (1.57)
                       D          K

   ×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (1.57) íå çàâèñèò
îò âûáîðà îáúåìëþùåãî ïàðàëëåëèïèïåäà K .
   Â äàëüíåéøåì èíòåãðàë â ñìûñëå îïðåäåëåíèé 1.1.10-1.1.12 ìû áó-
äåì íàçûâàòü ïðîñòî èíòåãðàëîì èëè èíòåãðàëîì Ëåáåãà , åñëè óòî÷åíèå
íåîáõîäèìî.
    îáùåì ñëó÷àå ïðè ïîñòðîåíèè èíòåãðàëà Äàíèýëÿ íå ïðåäïîëàãà-
åòñÿ âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 1.1.8. Îäíàêî åñëè ýòî óñëîâèå íå âûïîëíåíî è
åñëè ôóíêöèÿ f (x) ≡ 1 íå ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L(X), òî ðàáîòàòü
ñ òàêèì èíòåãðàëîì äîâîëüíî òðóäíî, è çäåñü ÷àñòî ïîìîãàåò êîíñòðóê-
öèÿ, àíàëîãè÷íàÿ êîíñòðóêöèè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà Ðèìàíà â ìíî-
ãîìåðíîì ñëó÷àå. Ýòî îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà â ñìûñëå îïðåäåëå-
íèÿ 1.1.8 ìîæíî íàçâàòü íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì.  îáùåì ñëó÷àå
ìû îïðåäåëèì ýòî ïîíÿòèå òàê.
Óñëîâèå 1.1.11. Ïóñòü K(m) ,      m = 1 ...   -ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíî-
æåñòâ, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
                  [
                       K(m) = D , K(m) ⊂ K(m + 1).               (1.58)
                   m

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî      m ïîñòðîåíî ïðîñòðàíñòâî L(K(m))
è èíòåãðàë Im íà ïðîñòðàíñòâå    L(K(m)), ïðè÷åì âûïîëíåíû óñëîâèÿ:

                   1.∀m : åñëè f (x) ∈ L(K(m))
                   òî f (x)I(K(m) | x) ∈ L(K(m + 1))             (1.59)
                              \
                   2. ∀m : I(D K(m) | x) ∈ L(K(m)).              (1.60)
                   3. ∀(m , f ∈ L(K(m))) :
                   Im (f ) = Im+1 (f I(K(m) | ·)).               (1.61)
                   4.∀ m : (f (x) ≡ 1) ∈ L(K(m)).                (1.62)

   Ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ óñëîâèé ìû îïðåäåëÿåì íåñîáñòâåííûé èíòå-
ãðàë îò çàäàííîé â îáëàñòè D ôóíêöèè òàê.

                                  30

Страницы