Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{f
n
} n → ∞
f f
f
n
L(X)
{φ
n
} ⊂ L(X)
φ
n
(x) ≥ 0 , I(
X
1≤k≤n
φ
k
) < C ,
C n
φ(x) =
X
n
φ
n
(x)
φ(x)
L(X)
I(φ) =
X
n
I(φ
n
).
φ
n
(x)
φ
n
(x) = f
n
(x) − g
n
(x) ,
f
n
, g
n
∈ L
+
(X) , g
n
(x) ≥ 0 , I(g
n
) < 2
−n
.
φ
n
(x)
f
n
(x) = φ
n
(x) + g
n
(x) ≥ 0,
I
+
(
X
1≤k≤n
f
k
) = I
+
(
X
1≤k≤n
φ
k
) + I
+
(
X
1≤k≤n
g
k
) ≤ C + 1.
1.1.4       Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä â èíòåãðàëå Ëåáåãà.

Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ñëåäóþùàÿ çàäà÷à. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé {fn } ïðè n → ∞ â êàêîì-òî ñìûñëå ñõîäèòñÿ
ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f . Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f
èíòåãðèðóåìà è åå èíòåãðàë åñòü ïðåäåë èíòåãðàëîâ îò ôóíêöèé fn ? Îñ-
íîâíûìè ðåçóëüòàòàìè ýòîé ÷àñòè ÿâëÿþòñÿ äâå òåîðåìû: òåîðåìà Ëåáåãà
î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå â èíòåãðàëå è òåîðåìà Ðèññà-Ôèøåðà î ïîëíîòå
ïðîñòðàíñòâà L(X).
   Ìû íà÷íåì ñ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Áåïïî Ëåâè.
Òåîðåìà 1.1.1. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {φ } ⊂ L(X) óäîâëåòâîðÿ-  n
åò óñëîâèÿì:                                         X
                          ï.â.   φn (x) ≥ 0 , I(            φk ) < C ,              (1.67)
                                                    1≤k≤n

ãäå   C   íå çàâèñèò îò     n.   Òîãäà:
      1. Ðÿä                                  X
                                     φ(x) =          φn (x)
                                                n

ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó è åãî ñóììà                    φ(x)   ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó
L(X).
      2. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                              X
                                     I(φ) =         I(φn ).                         (1.68)
                                                n

   Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó ëåììû 1.1.9 êàæäóþ ôóíêöèþ φn (x) ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå

                      φn (x) = fn (x) − gn (x) ,                                    (1.69)

ãäå

                      fn , gn ∈ L+ (X) , gn (x) ≥ 0 , I(gn ) < 2−n .                (1.70)

Èç íåîòðèöàòåëüíîñòè ôóíêöèé φn (x) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî

               fn (x) = φn (x) + gn (x) ≥ 0,

ïîýòîìó
                      X                 X                     X
               I+ (       fk ) = I+ (         φk ) + I+ (           gk ) ≤ C + 1.
                  1≤k≤n               1≤k≤n                 1≤k≤n



                                              32

Страницы