Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

k → ∞
f
n
(x) = lim
k→∞
g
n,k
(x) ≤ h(x) ≤ f(x).
n → ∞
f(x) ≤ h(x) ≤ f(x).
f(x) = h(x),
f(x) L
+
(X) I
+
(f) = I
+
(h).
I
+
(f) = I
+
(h) = lim
k→∞
I
0
(h
k
) ≤ lim
k→∞
I
+
(f
k
),
lim
n→∞
I
+
(f
n
) ≤ I
+
(h) = I
+
(f),
lim
n→∞
I
+
(f
n
) = I
+
(f).
f : X 7→ R
1
L(X)
L
+
(X)
f(x) = φ(x) − g(x) , φ , g ∈ L
+
(X).
(L(X) 3 f) ⇔ (∃(φ ∈ L
+
(X) , g ∈ L
+
(X)) , f(x) = φ(x) − g(x)).
L(X)
 íåðàâåíñòâå (1.46) ïåðåéäåì ê ïðåäåëó k → ∞. Ïîëó÷èì:

                  ï.â.fn (x) = lim gn,k (x) ≤ h(x) ≤ f (x).            (1.47)
                                k→∞


 íåðàâåíñòâå (1.47) ïåðåéäåì ê ïðåäåëó n → ∞. Ïîëó÷èì:

                          ï.â. f (x) ≤ h(x) ≤ f (x).

Ñëåäîâàòåëüíî, ïî÷òè âñþäó ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

                                 f (x) = h(x),

ïîýòîìó ïðåäåë â (1.38) êîíå÷åí ïî÷òè âñþäó, îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì
(1.38) ôóíêöèÿ f (x) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L+ (X) è I+ (f ) = I+ (h).
Èç íåðàâåíñòâà (1.42) ñëåäóåò, ÷òî

                 I+ (f ) = I+ (h) = lim I0 (hk ) ≤ lim I+ (fk ),
                                    k→∞              k→∞


à èç íåðàâåíñòâà (1.47) ñëåäóåò, ÷òî

                         lim I+ (fn ) ≤ I+ (h) = I+ (f ),
                        n→∞

ïîýòîìó
                              lim I+ (fn ) = I+ (f ).
                             n→∞

Ëåììà äîêàçàíà.
   Ââåäåì îñíîâíîå äëÿ äàëüíåøåãî ïîíÿòèå ïðîñòðàíñòâà èíòåãðèðó-
åìûõ ôóíêöèé.

Îïðåäåëåíèå 1.1.7. Ôóíêöèÿ f : X 7→ R           1
                                                    ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó
èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé   L(X), åñëè ýòà ôóíêöèÿ ïî÷òè âñþäó ïðåäñòà-
âèìà êàê ðàçíîñòü äâóõ ôóíêöèé èç L+ (X):

                  ï.â. f (x) = φ(x) − g(x) , φ , g ∈ L+ (X).           (1.48)

Òàêèì îáðàçîì,

   (L(X) 3 f ) ⇔ (∃(φ ∈ L+ (X) , g ∈ L+ (X)) , ï.â. f (x) = φ(x) − g(x)).

Ïðèíàäëåæàùèå ïðîñòðàíñòâó L(X) ôóíêöèè ìû áóäåì íàçûâàòü èíòå-
ãðèðóåìûìè ôóíêöèÿìè.


                                       24

Страницы