Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f ∈ L
+
(X)
L
0
(X) I
+
I
0
I
+
f(x)
L
+
([0 , 1]) I
+
(f) = 0
L
+
(X) L
0
(X)
α ≥ 0 , β ≥ 0 f(x) , g(x) ∈ L
+
(X) I
+
(αf +βg) = αI
+
(f)+
βI
+
(g).
f(x) ∈ L
+
(X) f(x) ≥ 0 I
+
(f) ≥ 0
f(x) = 0 f(x) ∈ L
+
(X) I
+
(f) = 0
f(x) ≥ 0 f
n
(x) % f(x)
f
+
n
(x) % f(x)
Z
I(Z | x)
Z L
+
(X)
(mes(Z) = 0) ⇒ (I(Z | x) ∈ L
+
(X) , I
+
(I(Z | ·) = 0).
I
+
L
+
(X)
I
+
{f
n
(x)} ⊂ L
+
(X)
∀n : f
n+1
(x) ≥ f
n
(x) sup{I
+
(f
n
) | 1 ≤ n < ∞} < ∞,
∃(f ∈ L
+
(X)) : f
n
(x) % f(x) I
+
(f
n
) → I
+
(f) , n → ∞.
   Èç äîêàçàííîé ëåììû ñëåäóåò, ÷òî ïðåäåë â (1.34) çàâèñèò òîëüêî îò
ôóíêöèè f ∈ L+ (X) è ïîýòîìó îïðåäåëåíèå 1.1.6 êîððåêòíî.
   Íà ïðîñòðàíñòâå L0 (X) èíòåãðàë I+ ñîâïàäàåò ñ ýëåìåíòàðíûì èíòå-
ãðàëîì I0 .
   Â óñëîâèÿõ ïðèìåðà 1.1.13 èíòåãðàë I+ ñîâïàäàåò ñ íåñîáñòâåííûì
èíòåãðàëîì Ðèìàíà.
   Ïî ïîñòðîåíèþ, îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì (1.1) ôóíêöèÿ Äèðèõëå f (x)
ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L+ ([0 , 1]) è I+ (f ) = 0. Íàïîìíèì, ÷òî ôóí-
öèÿ Äèðèõëå íå èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó, è èç ýòîãî ïðèìåðà ñëåäóò, ÷òî
ïðîñòðàíñòâî L+ (X) øèðå ïðîñòðàíñòâà L0 (X).

Ëåììà 1.1.7. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
     1. Åñëè   α ≥ 0 , β ≥ 0 è f (x) , g(x) ∈ L+ (X) òî I+ (αf + βg) = αI+ (f ) +
βI+ (g).
     2. Åñëè   f (x) ∈ L+ (X)    è ï.â.    f (x) ≥ 0, òî I+ (f ) ≥ 0.
     3. Åñëè   ï.â. f (x) = 0,   òî    f (x) ∈ L+ (X) è I+ (f ) = 0.

     Ïåðâîå óòâåðæäåíèå ëåììû î÷åâèäíî, à äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî
óòâåðæäåíèÿ çàìåòèì, ÷òî åñëè ï.â. f (x) ≥ 0 è ï.â. fn (x) % f (x), òî ï.â.
fn+ (x) % f (x). Òðåòüå óòâåðæäåíèå ëåììû ñëåäóåò èç ïåðâîãî óòâåðæäå-
íèÿ ëåììû 1.1.5 è òîëüêî ÷òî äîêàçàííîãî óòâåðæäåíèÿ 2 íàøåé ëåììû.
     Òðåòüå óòâåðæäåíèå íàøåé ëåììû ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü è â ñëå-
äóþùåé ôîðìå.

Óòâåðæäåíèå 1.1.6. Åñëè Z                 -ýòî ìíîæåñòâî ìåðû íîëü â ñìûñëå
îïðåäåëåíèÿ 1.1.1, òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ                    I(Z | x)   ìíîæå-
ñòâà    Z   ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó              L+ (X)    è èíòåãðàë îò íåå ðàâåí
íóëþ:
               (mes(Z) = 0) ⇒ (I(Z | x) ∈ L+ (X) , I+ (I(Z | ·) = 0).

   Òàê êàê îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëà I+ -ïðîñòðàíñòâî L+ (X)
-íå åñòü ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, òî ôóíêöèîíàë I+ íå åñòü ëèíåéíûé
ôóíêöèîíàë.

Ëåììà 1.1.8. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f (x)} ⊂ L        n          + (X) òàêîâà, ÷òî


∀n :   ï.â. fn+1 (x)   ≥ fn (x) è sup{I+ (fn ) | 1 ≤ n < ∞} < ∞,                (1.36)

òî

     ∃ (f ∈ L+ (X)) :    ï.â. fn (x)   % f (x) è I+ (fn ) → I+ (f ) , n → ∞.    (1.37)

                                             22

Страницы