Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f ∈ L
+
(X)
{f
n
} ⊂ L
0
(X)
f
n
(x) % f(x).
I
+
(f) = lim
n→∞
I
0
(f
n
).
{f
n
}
f ∈ L
+
(X)
{f
n
}, {φ
n
}
f
n
(x) % f(x) , φ
n
(x) % φ(x) , n → ∞ f(x) ≤ φ(x).
lim
n→∞
I
0
(f
n
) ≤ lim
n→∞
I
0
(φ
n
).
+∞
m < ∞
h
n
(x) = f
m
(x) − min(f
m
(x) , φ
n
(x)).
h
n
(x) & (f
m
(x) − min(f
m
(x) , φ(x)) = 0 , n → ∞.
∀m : I
0
(h
n
) = I
0
(f
m
) − I
0
(min(f
m
, φ
n
)) → 0 , n → ∞.
∀m: I
0
(f
m
) = lim
n→∞
I
0
(min(f
m
, φ
n
)) ≤ lim
n→∞
I
0
(φ
n
),
lim
m→∞
I
0
(f
m
) ≤ lim
n→∞
I
0
(φ
n
).
Îïðåäåëåíèå 1.1.6. Ïóñòü f  ∈ L+ (X) è ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé {fn } ⊂ L0 (X) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

                                    ï.â. fn (x) % f (x).                         (1.33)

Òîãäà ìû ïî îïðåäåëåíèþ ïîëîæèì
                                          def
                                   I+ (f ) = lim I0 (fn ).                       (1.34)
                                                n→∞

    ñèëó óñëîâèÿ (1.30) ïðåäåë â (1.34) âñåãäà ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí. Äî-
êàæåì, ÷òî ýòîò ïðåäåë íå çàâèñèò îò âûáîðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn },
à îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ôóíêöèåé f ∈ L+ (X).
Ëåììà 1.1.6. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé {f } , {φ }               n    n
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì:

    ï.â fn (x)   % f (x) ,   ï.â   φn (x) % φ(x) , n → ∞ è    ï.â.   f (x) ≤ φ(x).

Òîãäà
                              lim I0 (fn ) ≤ lim I0 (φn ).                       (1.35)
                             n→∞                 n→∞

    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäåëû èíòåãðàëîâ â (1.35) âñåãäà ñóùåñòâóþò (êàê
ïðåäåëû ìîíîòîííûõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé), íî òàê êàê â ýòîé
ëåììå ìû íå ïðåäïîëàãàåì ðàâíîìåðíîé îãðàíè÷åííîñòè èíòåãðàëîâ â
(1.35), ýòè ïðåäåëû ìîãóò áûòü ðàâíû +∞.
    Ôèêñèðóåì m < ∞ è ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

                      hn (x) = fm (x) − min(fm (x) , φn (x)).

Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:

          ï.â. hn (x) & (fm (x) − min(fm (x) , φ(x)) = 0 , n → ∞.

Ïîýòîìó

          ∀m : I0 (hn ) = I0 (fm ) − I0 (min(fm , φn )) → 0 , n → ∞.

Ñëåäîâàòåëüíî,

            ∀ m : I0 (fm ) = lim I0 (min(fm , φn )) ≤ lim I0 (φn ),
                                n→∞                          n→∞

è
                              lim I0 (fm ) ≤ lim I0 (φn ).
                             m→∞                     n→∞

Ëåììà äîêàçàíà.

                                                21

Страницы