Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

X f(x)
L
+
(X)
{f
n
(x)}
f
n
(x) % f(x) , n → ∞ sup{|I
0
(f
n
)| | 1 ≤ n < ∞} < ∞.
f(x) ∈ L
+
(X) g(x) = f(x) g(x) ∈ L
+
(X)
L
+
(X)
(f ∈ L
+
(X)) =⇒ ( |f(x)| < ∞).
α ≥ 0 , β ≥ 0 f(x) , g(x) ∈ L
+
(X) αf(x)+βg(x) ∈ L
+
(X).
f(x) , g(x) ∈ L
+
(X)
min(f(x) , g(x)) ∈ L
+
(X) , max(f(x) , g(x)) ∈ L
+
(X).
max , min
min(f
n
(x) , g
n
(x)) ≤ max(f
n
(x) , g
n
(x)) ≤
max(f
n
(x) − f
1
(x) + |f
1
(x)|, g
n
(x) − g
1
(x) + |g
1
(x)|)
≤ f
n
(x) + 2|f
1
(x)| + g
n
(x) + 2|g
1
(x)|.
L
0
(X) ⊂ L
+
(X) L
+
(X)
L
0
(X)
X [a , b]
C([a , b])
[a , b]
(α , β) ⊂
[a , b] [α , β] ⊂ [a , b]
(α , β] ⊂ [a , b] , [α , β) ⊂ [a , b]
L
+
(X)
I((α , β) | x) (α , β) ⊂ [a , b]
L
+
(X)
∀x: I((α , β) | x) = lim
n→∞
min(1 , n(x − α)
+
, n(β − x)
+
).
Îïðåäåëåíèå 1.1.5. Çàäàíàÿ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèÿ f (x) ïðèíàäëå-
æèò ïðîñòðàíñòâó L+ (X), åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìîíîòîííî íåóáûâàþ-
ùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé {fn (x)}, ÷òî

      ï.â. fn (x) % f (x) , n → ∞ è sup{|I0 (fn )| | 1 ≤ n < ∞} < ∞.            (1.30)

Ëåììà 1.1.5. 1. Åñëè f (x) ∈ L         + (X) è ï.â.   g(x) = f (x), òî g(x) ∈ L+ (X).
      2. Êàæäàÿ ôóíêöèÿ èç ïðîñòðàíñòâà               L+ (X) îãðàíè÷åíà ïî÷òè âñþ-
äó:
                         (f ∈ L+ (X)) =⇒ (ï.â. |f (x)| < ∞).
      3. Åñëè   α ≥ 0 , β ≥ 0 è f (x) , g(x) ∈ L+ (X) òî αf (x)+βg(x) ∈ L+ (X).
      4.   Åñëè f (x) , g(x) ∈ L+ (X) òî

               min(f (x) , g(x)) ∈ L+ (X) , max(f (x) , g(x)) ∈ L+ (X).

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðå-
äåëåíèÿ. Âòîðîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ëåììû 1.1.3. Òðåòüå óòâåðæäå-
íèå î÷åâèäíî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ÷åòâåðòîãî óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî
âîñïîëüçîâàòüñÿ íåïðåðûâíîñòþ ôóíêöèé max , min è î÷åâèäíûì íåðà-
âåíñòâîì

                min(fn (x) , gn (x)) ≤ max(fn (x) , gn (x)) ≤
                max(fn (x) − f1 (x) + |f1 (x)| , gn (x) − g1 (x) + |g1 (x)|)
                ≤ fn (x) + 2|f1 (x)| + gn (x) + 2|g1 (x)|.

ßñíî, ÷òî âñåãäà L0 (X) ⊂ L+ (X). Â ïðèìåðå 1.1.3 ïðîñòðàíñòâî L+ (X)
ñîâïàäàåò ñ ïðîñòðàíñòâîì L0 (X). Ðàññìîòðèì äðóãèå ïðìåðû.
Óòâåðæäåíèå 1.1.4. Åñëè ïðîñòðàíñòâî X åñòü îòðåçîê [a , b], ïðî-
ñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé åñòü ìíîæåñòâî                     C([a , b]) âñåõ íåïðå-
ðûâíûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå            [a , b],   à ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë åñòü èí-
òåãðàë Ðèìàíà, òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ëþáîãî èíòåðâàëà                     (α , β) ⊂
[a , b]    è îòðåçêà  [α , β] ⊂ [a , b] (à òàêæå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíê-
öèè ïîëóèíòåðâàëîâ         (α , β] ⊂ [a , b] , [α , β) ⊂ [a , b]) ïðèíàäëåæàò ïðî-
ñòðàíñòâó        L+ (X).
    Òàê êàê â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè îäíîòî÷å÷íîå ìíîæåñòâî (à òàê-
æå ëþáîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç êîíå÷íîãî ÷èñà òî÷åê) åñòü ìíîæåñòâî
ìåðû íîëü, òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ
I((α , β) | x) ëþáîãî èíòåðâàëà (α , β) ⊂ [a , b] ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàí-
ñòâó L+ (X). Íî

           ∀ x : I((α , β) | x) = lim min(1 , n(x − α)+ , n(β − x)+ ).          (1.31)
                                 n→∞


                                            19

Страницы