Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

n
Z
n
:= {x | f
n+1
(x) > f
n
(x)}
lim
n→∞
f
n
(x) = 0 ,
lim
n→∞
I
0
(f
n
) = 0.
n Z
n
:= {x |
f
n+1
(x) > f
n
(x)}
S
n
Z
n
x 6∈
S
n
Z
n
∀n: f
n+1
(x) ≤ f
n
(x).
n ∈ Z
n ∈ Z
Z
0
= {x | f
n
(x) 6→ 0 , n → ∞} Z =
[
0≤n≤∞
Z
n
.
mes(Z) = 0. g
n
(x) := min{f
k
(x) | 1 ≤ k ≤ n}.
x 6∈ Z, g
n
(x) = f
n
(x) g
n
(x) & 0 , n → ∞.
g
n
(x) = f
n
(x) , I
0
(f
n
) = I
0
(g
n
).
g
n
(x)
I
0
(f
n
) = I
0
(g
n
) → 0 , n → ∞.
Ëåììà 1.1.3. Åñëè äëÿ êàæäîãî n ìíîæåñòâî
                       Zn := {x | fn+1 (x) > fn (x)}

åñòü ìíîæåñòâî ìåðû íîëü è

                            ï.â.   lim fn (x) = 0 ,
                                   n→∞

òî
                               lim I0 (fn ) = 0.
                              n→∞

   Âî-ïåðâûõ çàìåòèì, ÷òî åñëè äëÿ êàæäîãî n ìíîæåñòâî Z Sn := {x |
fn+1 (x) > fn (x)} åñòü ìíîæåñòâî ìåðû íîëü, òî ìíîæåñòâî Zn åñòü
                                                         n
ìíîæåñòâî ìåðû íîëü, à ïðè x 6∈ Zn ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå
                                S
                                     n

                           ∀n : fn+1 (x) ≤ fn (x).

   Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ â äàëüíåéøåì ïîçâîëÿò íàì íå äåëàòü ðàç-
ëè÷èÿ ìåæäó óòâåðæäåíèåì, ÷òî íåêîòîðîå ñâîéñòâî, ñïðàâåäëèâî ïî÷òè
âñþäó ñðàçó äëÿ âñåõ n ∈ Z è óòâåðæäåíèåì, ÷òî ýòî ñâîéñòâî, ñïðàâåä-
ëèâî ïî÷òè âñþäó äëÿ êàæäîãî n ∈ Z.
   Ïóñòü
                                                  [
             Z0 = {x | fn (x) 6→ 0 , n → ∞} è Z =    Zn .
                                                        0≤n≤∞

Ïî óñëîâèþ, mes(Z) = 0. Ïóñòü gn (x) := min{fk (x) | 1 ≤ k ≤ n}. Åñëè
x 6∈ Z, òî gn (x) = fn (x) è ï.â. gn (x) & 0 , n → ∞. Òàê êàê

                ï.â.   gn (x) = fn (x) , òî I0 (fn ) = I0 (gn ).

Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü gn (x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû 1.1.2,
òî I0 (fn ) = I0 (gn ) → 0 , n → ∞.

1.1.3   Ïîñòðîåíèå èíòåãðàëà ïî ñõåìå Äàíèýëÿ.

Ìû ïðèñòóïàåì ê ïîñòðîåíèþ ðàñøèðåíÿ ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ
ôóíêöèé è ðàñïðîñòðàíåíèþ ýëåìåíòàðíîãî èíòåãðàëà íà ýòî ðàñøèðåí-
íîå ïðîñòðàíñòâî. Ðàñøèðÿòü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ìû
áóäåì â äâà ýòàïà: ñíà÷àëà ìû äîáàâèì íåêîòîðûå ïîòî÷å÷íûå ïðåäåëû
ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, à ïîòîì ìû äîáàâèì ôóíêöèè, êîòîðûå ïðåä-
ñòàâèìû êàê ðàçíîñòü òåõ ôóíêöèé, êîòîðûå ìû äîáàâèëè íà ïåðâîì
ýòàïå.

                                         17

Страницы