Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f
+
(x) := max{0 , f(x)}.
f(x) f
+
(x)
h
+
n
(x)
h
+
n
(x) ∈ L
0
(X) , ∀(x ∈ X , n) : h
+
n+1
(x) ≤ h
+
n
(x) ,
∀(x ∈ X) : lim
n→∞
h
+
n
(x) = 0.
I
0
(f
n
) − MI
0
(g
n
) = I
0
(h
n
) ≤ I
0
(h
+
n
) → 0 , n → ∞
g
n
(x)
0 ≤ lim
n→∞
I
0
(f
n
) ≤ lim sup MI
0
(g
n
) ≤ M.
f(x) ∈ L
0
(X) f(x) = 0, I
0
(f) = 0.
f
n
(x) ≡ |f(x)|
|I
0
(f)| ≤ I
0
(|f|).
{a
n
}
∀n: a
n+1
≤ a
n
lim
n→∞
a
n
= a,
a
n
& a.
{a
n
}
∀n: a
n+1
≥ a
n
lim
n→∞
a
n
= a,
a
n
% a.
    äàëüíåøåì ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå

                         f + (x) := max{0 , f (x)}.

Çàìåòèì, ÷òî åñëè f (x) -ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ, òî f + (x) -òîæå ýëåìåí-
òàðíàÿ ôóíêöèÿ.
   Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü h+  n (x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:


            h+                                +          +
             n (x) ∈ L0 (X) , ∀(x ∈ X , n) : hn+1 (x) ≤ hn (x) ,
            ∀(x ∈ X) : lim h+  n (x) = 0.
                        n→∞


Ñëåäîâàòåëüíî,

            I0 (fn ) − M I0 (gn ) = I0 (hn ) ≤ I0 (h+
                                                    n) → 0, n → ∞


 ñèëó âûáîðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè gn (x) îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

                 0 ≤ lim I0 (fn ) ≤ lim sup M I0 (gn ) ≤ M .
                     n→∞

Òàê êàê  ïðîèçâîëüíî, òî ëåììà äîêàçàíà.
   Èç äîêàçàííîé ëåììû âûòåêàåò

Ñëåäñòâèå 1.1.1. Åñëè f (x) ∈ L (X) è ï.â. f (x) = 0, òî I (f ) = 0.
                                   0                               0


   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ñëåäñòâèÿ äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü fn (x) ≡ |f (x)|, ïðèìåíèòü ê ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äî-
êàçàííóþ ëåììó è íåðàâåíñòâî |I0 (f )| ≤ I0 (|f |).
    äàëüíåéøåì ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ.
   Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an } óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì

                       ∀n : an+1 ≤ an è lim an = a,
                                            n→∞

òî ìû áóäåì ïèñàòü
                                  an & a.
   Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an } óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì

                       ∀n : an+1 ≥ an è lim an = a,
                                            n→∞

òî ìû áóäåì ïèñàòü
                                    an % a.

                                       16

Страницы