Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

P (x)
X
P : X 3 x 7→ P (x) ∈ {truth , false}
mes({x | P (x) =
false}) = 0.
( P (x) = truth) ⇐⇒ (mes(C({x | P (x) = truth})) = 0)
f
n
(x)
f
n
(x)
mes(C({x | ∃ lim
n→∞
f
n
(x)}) = 0.
L
0
(X)
L
0
(X) I
0
L
0
(X) L
0
(X)
I
0
mod(µ)
[0 , 1]
f(x) =
(
0 , x ∈ [0 , 1/2)
1 , x ∈ [1/2 , 1].
[0 , 1]
x = 1/2.
x = 1/2
1/2
   Ýòî îïðåäåëåíèå ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü òàê. Ïóñòü P (x) -ôóíêöèÿ
íà ìíîæåñòâå X , êîòîðàÿ ïðèíèìàåò äâà çíà÷åíèÿ:
                   P : X 3 x 7→ P (x) ∈ {truth , f alse}
Îïðåäåëåíèå 1.1.3. P(x)=truth ïî÷òè âñþäó, åñëè mes({x         | P (x) =
f alse}) = 0.
    Äëÿ âûðàæåíèÿ "ïî÷òè âñþäó "ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñîêðàùåíèå
ï.â. Òàêèì îáðàçîì,
        (ï.â. P (x) = truth) ⇐⇒ (mes(C({x | P (x) = truth})) = 0)
    Îñîáî îòìåòèì ñâîéñòâî ñõîäèìîñòè ïî÷òè âñþäó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
fn (x).
Îïðåäåëåíèå 1.1.4. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f (x) ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó,
                                              n
åñëè
                     mes(C({x | ∃ lim fn (x)}) = 0.
                                   n→∞

   Îòìåòèì, ÷òî òàê êàê ñâîéñòâî ìíîæåñòâà áûòü ìíîæåñòâîì ìåðû
íîëü çàâèñèò îò âûáðàííîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé L0 (X)
è îò çàäàííîãî íà ïðîñòðàíñòâå L0 (X) ýëåìåíòàðíîãî èíòåãðàëà I0 , òî
ñâîéñòâî ïî÷òè âñþäó çàâèñèò îò âûáðàííîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàð-
íûõ ôóíêöèé L0 (X) è îò çàäàííîãî íà ïðîñòðàíñòâå L0 (X) ýëåìåíòàðíî-
ãî èíòåãðàëà I0 . Â äàëüíåéøåì ó íàñ âîçíèêíóò ñèòóàöèè, êîãäà íóæíî
ïîÿñíèòü, â êàêîì èìåííî ñìûñëå óïîòðåáëåí òåðìèí ïî÷òè âñþäó. Òî-
ãäà ìû áóäåì ïèñàòü ï.â. mod(µ). Ñìûñë ýòîãî îáîçíà÷åíèÿ è åãî ñâÿçü
ñ èíòåãðàëîì áóäóò ïîÿñíåíû ïîçæå íà ñòð. 60.
   Ïðèâåäåì ïðèìåð.
   Íà îòðçêå [0 , 1] îïðåäåëèì ôóíêöèþ
                                (
                                 0 , x ∈ [0 , 1/2)
                        f (x) =                                 (1.23)
                                 1 , x ∈ [1/2 , 1].
Ýòà ôóíêöèÿ íåðïåðûâíà âî âñåõ òî÷êàõ îòðåçêà [0 , 1] , çà èñêëþ÷å-
íèåì òî÷êè x = 1/2. Åñëè ìû îïðåäåëèì ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë òàê,
êàê â óòâåðæäåíèè 1.1.1, òî ñèëó ïðèâåäåííîãî âûøå ïðèìåðà 1.1.10 òî÷-
êà x = 1/2 èìååò ìåðó íîëü. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ
(1.23) íåïðåðûâíà ïî÷òè âñþäó. Îäíàêî åñëè ìû îïðåäåëèì ýëåìåíòàð-
íûé èíòåãðàë ôîðìóëîé (1.21), òî òî÷êà 1/2 óæå íå áóäåò ìíîæåñòâîì
ìåðû íîëü, è ïðè îïðåäåëåíèè ýëåìåíòàðíîãî èíòåãðàëà ôîðìóëîé (1.21)
ôóíêöèÿ (1.23) íå áóäåò íåïðåðûâíà ïî÷òè âñþäó.
    Èñïîëüçóåì ïîíÿòèå ìíîæåñòâà ìåðû íîëü äëÿ óòî÷íåíèÿ óñëîâèé
ñõîäèìîñòè ê íóëþ èíòåãðàëà îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé.

                                    14

Страницы