Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
0
(X) L
0
(X)
I
0
Z
k
⊂ X , k = 1 , . . .
Z =
S
k
Z
k
. k
{f
n,k
(x)} ⊂ L
0
(X) , n = 1 . . . ∀(n , k) : 0 ≤ f
n,k
(x) ≤ f
n+1,k
(x)
∀(x ∈ Z
k
) : sup{f
n,k
(x) | n ∈ Z} ≥ 1 , I
0
(f
n,k
) < 2
−k
.
g
n
(x) := max{f
n,k
(x) | 1 ≤ k ≤ n}.
g
n
{g
n
} ⊂ L
0
(X) , 0 ≤ g
n
(x) ≤ g
n+1
(x) , ∀(x ∈ Z
k
) :
sup{g
n
(x) | 1 ≤ n < ∞} ≥ 1,
∀(x ∈ Z) : sup{g
n
(x) | 1 ≤ n < ∞} ≥ 1
I
0
(g
n
) ≤ I
0
X
1≤k≤n
f
n,k
!
≤
Z
x ∈ X P (x).
P (x)
x ∈ X, P (x)
   Êàê âèäíî èç ðàññìîòðåííûõ íàìè ïðèìåðîâ, ñâîéñòâî ìíîæåñòâà
áûòü ìíîæåñòâîì ìåðû íîëü çàâèñèò è îò ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ
ôóíêöèé L0 (X), è îò çàäàííîãî íà ïðîñòðàíñòâå L0 (X) ýëåìåíòàðíîãî
èíòåãðàëà I0 .
Ëåììà 1.1.1. Ñ÷åòíîå îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ ìåðû íîëü åñòü ìíî-
æåñòâî ìåðû íîëü.

   Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü  Zk ⊂ X , k = 1 , . . . -ìíîæåñòâà ìåðû íîëü è
Z = Zk . Ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà ìåðû íîëü äëÿ êàæäîãî k ñóùå-
     S
     k
ñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

    {fn,k (x)} ⊂ L0 (X) , n = 1 . . .      ÷òî      ∀(n , k) : 0 ≤ fn,k (x) ≤ fn+1,k (x)

è

    ∀(x ∈ Zk ) : sup{fn,k (x) | n ∈ Z} ≥ 1 , I0 (fn,k ) < 2−k .

Ïóñòü

    gn (x) := max{fn,k (x) | 1 ≤ k ≤ n}.

Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü gn óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:

                {gn } ⊂ L0 (X) , 0 ≤ gn (x) ≤ gn+1 (x) , ∀(x ∈ Zk ) :
                sup{gn (x) | 1 ≤ n < ∞} ≥ 1,

ïîýòîìó

                ∀(x ∈ Z) : sup{gn (x) | 1 ≤ n < ∞} ≥ 1

è
                                               !
                                X
                I0 (gn ) ≤ I0           fn,k       ≤
                                1≤k≤n

Òàê êàê  ïðîèçâîëüíî, òî ìíîæåñòâî Z óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì îïðåäå-
ëåíèÿ 1.1.1 Ëåììà äîêàçàíà.
   Ââåäåì ïîíÿòèå ñâîéñòâà, ñïðàâåäëèâîãî ïî÷òè âñþäó. Ðàññìîòðèì
íåêîòîðîå çàâèñÿùåå îò òî÷êè x ∈ X ñâîéñòâî P (x).
Îïðåäåëåíèå 1.1.2. Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñâîéñòâî P (x) ñïðàâåä-
ëèâî ïî÷òè âñþäó, åñëè ìíîæåñòâî òî÷åê x ∈ X, ãäå ñâîéñòâî P (x) íå
ñïðàâåäëèâî, åñòü ìíîæåñòâî ìåðû íîëü.

                                               13

Страницы